Seja . Usando os valores dados na tabela abaixo, faça os seguintes exercícios:
a) Aproxime usando interpolação linear com e .
b) Aproxime f(0,75) usando interpolação linear com os nós e .
c) Aproxime e usando interpolação polinomial do grau com os nós e .
d) Quais aproximações foram melhores? Por que?
x
0,0
0,5
1,0
2,0
f(x)
1,00000
1,64872
2,71828
7,38906
Passo 1
O enunciado dá a função em e os valores
Devemos aproximar por interpolação linear em , por interpolação linear em , depois calcular ambas as aproximações por interpolação polinomial de grau em e comparar os erros.
Passo 2
Para interpolação linear entre os nós e usamos
Logo, para
Passo 3
Para interpolação linear entre e temos
Para
Passo 4
Para grau em usamos o polinômio de Lagrange
com
Para calcula-se
logo
Passo 5
De modo análogo, para obtemos
de onde
Passo 6
Os valores exatos são
Erros absolutos:
Logo, em ambos os pontos a interpolação linear (que usa nós próximos) produz erro menor que o polinômio de grau (que inclui o nó distante ).
Resposta
a) f(0,25)approx1,32436 (linear em 0,0,5).
b) f(0,75)approx2,18350 (linear em 0,5,1).
c) f(0,25)approx1,15277 e f(0,75)approx2,01191 (polinômio de grau 2 em 0,1,2).
d) As interpolações lineares foram melhores porque usam nós mais próximos dos pontos de interesse, resultando em menores erros locais.