Seja f(x)=e^x, 0 <= x <= 2. Usando os valores dados na tabela abaixo, faça os seguintes exercícios:
a) Aproxime f(0,25) usando interpolação linear com x0=0 e x1=0.5.
b) Aproxime f(0,75) usando interpolação linear com os nós x0=0,5 e x1=1.
c) Aproxime f(0,25) e f(0,75) usando interpolação polinomial do 2^-grau com os nós x0=0, x1=1 e x2=2.
d) Quais aproximações foram melhores? Por que?
x 0,0 0,5 1,0 2,0
f(x) 1,00000 1,64872 2,71828 7,38906

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^x em [0,2] e os valores
c|cccc x & 0,0 & 0,5 & 1,0 & 2,0 hline f(x) & 1,00000 & 1,64872 & 2,71828 & 7,38906
Devemos aproximar f(0,25) por interpolação linear em 0,0,5, f(0,75) por interpolação linear em 0,5,1, depois calcular ambas as aproximações por interpolação polinomial de grau 2 em 0,1,2 e comparar os erros.

Passo 2

Para interpolação linear entre os nós (x0,f0)=(0,1) e (x1,f1)=(0,5,1,64872) usamos
L(x)=f0+f1-f0x1-x0(x-x0)
Logo, para x=0,25
L(0,25)=1+1,64872-10,5-0(0,25-0) =1+1,29744cdot0,25 =1,32436

Passo 3

Para interpolação linear entre (x0,f0)=(0,5,1,64872) e (x1,f1)=(1,2,71828) temos
L(x)=1,64872+2,71828-1,648721-0,5(x-0,5)
Para x=0,75
L(0,75)=1,64872+2,13912cdot0,25 =2,18350

Passo 4

Para grau 2 em 0,1,2 usamos o polinômio de Lagrange
P2(x)=sumi=0^2f(xi),elli(x),
com
ell0(x)=(x-1)(x-2)(0-1)(0-2), ell1(x)=x(x-2)(1-0)(1-2), ell2(x)=x(x-1)(2-0)(2-1)
Para x=0,25 calcula-se
ell0(0,25)=0,65625, ell1(0,25)=0,43750, ell2(0,25)=-0,09375,
logo
P2(0,25) =1cdot0,65625+2,71828cdot0,43750+7,38906cdot(-0,09375) approx1,15277

Passo 5

De modo análogo, para x=0,75 obtemos
ell0(0,75)=0,15625, ell1(0,75)=0,93750, ell2(0,75)=-0,09375,
de onde
P2(0,75) =1cdot0,15625+2,71828cdot0,93750+7,38906cdot(-0,09375) approx2,01191

Passo 6

Os valores exatos são
Erros absolutos:
Logo, em ambos os pontos a interpolação linear (que usa nós próximos) produz erro menor que o polinômio de grau (que inclui o nó distante ).

Resposta

a) f(0,25)approx1,32436 (linear em 0,0,5).
b) f(0,75)approx2,18350 (linear em 0,5,1).
c) f(0,25)approx1,15277 e f(0,75)approx2,01191 (polinômio de grau 2 em 0,1,2).
d) As interpolações lineares foram melhores porque usam nós mais próximos dos pontos de interesse, resultando em menores erros locais.

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