Questão 2) Sobre a equação
, onde
, pede-se:
a) (1,0 pontos) Mostre que existe uma raiz
da equação
no intervalo
e outra raiz
no intervalo
;
(25)
b) ( 0,5 pontos) A raiz
é também ponto fixo de uma função
tal que
. Determine esta função
;
c) (1,0 pontos) Determine
pelo método iterativo linear usando a função
do item b). Use
e o critério de
parada
;
d) (1,5 pontos) Determine
pelo método Regula-Falsi com erro relativo
inferior a
.
1,5
a) (1,0 pontos) Mostre que existe uma raiz
(25)
b) ( 0,5 pontos) A raiz
c) (1,0 pontos) Determine
d) (1,5 pontos) Determine
1,5
Passo 1
O enunciado define
e pede:
– em (a) mostrar que existe uma raiz em
e outra
em
usando o Teorema do Valor Intermediário;
– em (b) encontrar uma função cujo ponto fixo é
e tal que
;
– em (c) obter por iteração fixa
partindo de
até
;
– em (d) obter pelo método da Regula Falsi em
até erro relativo
– em (a) mostrar que existe uma raiz
– em (b) encontrar uma função
– em (c) obter
– em (d) obter
Passo 2
Para (a) avalio
logo
e há raiz
.
Analogamente
Analogamente
portanto
e existe
.
Passo 3
Para (b) quero
tal que
e cujo ponto fixo resolva
. A escolha clássica é o mapa de Newton, isto é
De fato, em
tem-se
e portanto
.
Passo 4
Em (c) aplico a iteração
com
e critério
. Calculo sucessivamente (arredondando a 5 casas):
,
,
,
,
,
,
,
atende
. Logo
Passo 5
Em (d) uso Regula Falsi em
até
.
Iterações principais:
:
Iterações principais:
sinal muda em
,
.
:
sinal em
,
.
:
sinal em
,
.
Portanto
Portanto
Resposta
a) Há raiz em
e em
pois
e
.
b)
b)
fixo em
e
.
c) Pela iteração de Newton obtém-se
com
.
d) Pela Regula Falsi em até
chega-se a
.
c) Pela iteração de Newton obtém-se
d) Pela Regula Falsi em