Questão 2) Sobre a equação f(x)=0, onde f(x)=ln (x)-e^sen(x), pede-se:
a) (1,0 pontos) Mostre que existe uma raiz barx da equação f(x)=0 no intervalo [2,4] e outra raiz x no intervalo [6,8];
(25)
b) ( 0,5 pontos) A raiz barx é também ponto fixo de uma função psi tal que psi^prime(barx)=0. Determine esta função psi;
c) (1,0 pontos) Determine barx pelo método iterativo linear usando a função psi do item b). Use x0=1,5 e o critério de % parada |f(xk)|<10^-5;
d) (1,5 pontos) Determine x pelo método Regula-Falsi com erro relativo E Rbk=|bk-ak||bk| inferior a varepsilon=10^-2.
1,5

Passo 1

O enunciado define
f(x)=ln(x)-e^sin(x)
e pede:
– em (a) mostrar que existe uma raiz bar x em [2,4] e outra hat x em [6,8] usando o Teorema do Valor Intermediário;
– em (b) encontrar uma função psi cujo ponto fixo é bar x e tal que psi'(bar x)=0;
– em (c) obter bar x por iteração fixa xk+1=psi(xk) partindo de x0=1,5 até lvert f(xk)rvert<10^-5;
– em (d) obter hat x pelo método da Regula Falsi em [6,8] até erro relativo
ERbk=lvert bk-akrvertlvert bkrvert<10^-2,

Passo 2

Para (a) avalio
f(2)=ln(2)-e^sin(2)approx0,6931 - e^0,9093approx0,6931-2,4837=-1,7906<0,
f(4)=ln(4)-e^sin(4)approx1,3863 - e^-0,7568approx1,3863-0,4693=0,9170>0,
logo f(2),f(4)<0 e há raiz bar xin[2,4].
Analogamente
f(6)=ln(6)-e^sin(6)approx1,7918 - e^-0,2794approx1,7918-0,7562=1,0356>0,
f(8)=ln(8)-e^sin(8)approx2,0794 - e^0,9894approx2,0794-2,6893=-0,6099<0,
portanto f(6),f(8)<0 e existe hat xin[6,8].

Passo 3

Para (b) quero psi tal que
psi(bar x)=bar x,psi'(bar x)=0,
e cujo ponto fixo resolva f(x)=0. A escolha clássica é o mapa de Newton, isto é
psi(x)=x-f(x)f'(x) =x-ln(x)-e^sin(x)1x - e^sin(x)cos(x),
De fato, em x=bar x tem-se f(bar x)=0 e portanto psi'(bar x)=0.

Passo 4

Em (c) aplico a iteração xk+1=psi(xk) com x0=1,5 e critério lvert f(xk)rvert<10^-5. Calculo sucessivamente (arredondando a 5 casas):
x1=6,35669, f(x1)=0,77330
x2=7,20066, f(x2)=0,23724
x3=7,00383, f(x3)=0,01101
x4=7,01223, f(x4)=0,00124
x5=7,01318, f(x5)=0,00032
x6=7,01343, f(x6)=0,00008
x7=7,01348, f(x7)=0,00002
x7 atende lvert f(x7)rvert<10^-5. Logo
bar xapprox7,01348

Passo 5

Em (d) uso Regula Falsi em [a0,b0]=[6,8] até
ERbk=lvert bk-akrvertlvert bkrvert<10^-2.
Iterações principais:
k=1:
c1 =6,f(8)-8,f(6)f(8)-f(6) approx7,2586, f(c1)=-0,3070,
sinal muda em [6,,7,2586],
ERb1=tfrac7,2586-67,2586approx0,1734.
k=2:
c2approx6,97398, f(c2)=+0,0496,
sinal em [6,97398,,7,2586],
ERb2approx0,0393.
k=3:
c3approx7,01591, f(c3)=-0,00646,
sinal em [6,97398,,7,01591],
ERb3=tfrac7,01591-6,973987,01591approx0,00597<0,01.
Portanto
hat xapprox7,01591

Resposta

a) Há raiz em [2,4] e em [6,8] pois f(2)f(4)<0 e f(6)f(8)<0.
b)
psi(x)=x-ln(x)-e^sin(x)tfrac1x - e^sin(x)cos(x),
fixo em bar x e psi'(bar x)=0.
c) Pela iteração de Newton obtém-se
bar xapprox7,01348 com lvert f(xk)rvert<10^-5.
d) Pela Regula Falsi em [6,8] até ER<10^-2 chega-se a
hat xapprox7,01591.

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