Questão 1: Seja dada a função f(x)=x \ln (x)-1
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de y=f(x)
b) Justifique a escolha do intervalo

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x\ln(x)-1 e pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar um intervalo (a,b) onde exista somente uma raiz da equação y=f(x).
  2. (b) Justificar a escolha do intervalo.
Informações relevantes dadas/imediatas:
  • A expressão \ln(x) só está definida para x>0. Logo o domínio natural de f é (0,\infty).
  • Precisamos garantir existência e unicidade da raiz dentro do intervalo escolhido.

Passo 2

Verificamos continuidade e diferenciabilidade de f, pois são ferramentas que usaremos. A função x\mapsto x\ln(x) é contínua e diferenciável em (0,\infty); portanto f é contínua e diferenciável em (0,\infty). Isso nos permite usar o Teorema do Valor Intermediário (para existência de raízes) e análise pela derivada (para monotonicidade e unicidade).

Passo 3

Calculamos a derivada para estudar monotonicidade.
Derivada de x\ln(x): usar regra do produto. Se g(x)=x e h(x)=\ln(x) então (gh)'=g'h+gh'. Assim
f'(x) = \frac{d}{dx}\big(x\ln(x)\big) - 0 = 1\cdot\ln(x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(x) + 1.
Agora analisamos o sinal de f'(x):
  • f'(x)=0 quando \ln(x) + 1 = 0, isto é, quando \ln(x) = -1. Daqui segue x = e^{-1} = \dfrac{1}{e}.
  • Para 0<x<\dfrac{1}{e} temos \ln(x)<-1, logo f'(x)<0: f é decrescente em \big(0,\dfrac{1}{e}\big).
  • Para x>\dfrac{1}{e} temos \ln(x)>-1, logo f'(x)>0: f é crescente em \big(\dfrac{1}{e},\infty\big).
Concluímos que x=\dfrac{1}{e} é o ponto de mínimo global de f em (0,\infty).

Passo 4

Avaliamoes valores e limites relevantes para saber onde a função muda de sinal (existência de raiz).
  • Avaliação em x=1:
f(1)=1\cdot\ln(1)-1 = 0 -1 = -1.
Logo f(1)=-1<0.
  • Avaliação em x=e:
f(e)=e\cdot\ln(e)-1 = e\cdot 1 -1 = e-1.
Sabendo que e\approx 2,718>1, obtemos f(e)=e-1>0.
  • Limite quando x\to 0^+: usamos a substituição x=e^{-u} com u\to\infty. Então x\ln x = e^{-u}(-u) = -u e^{-u}\to 0. Portanto \lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1.
  • Limite quando x\to\infty: como \ln(x)\to\infty e cresce semamparo lento mas multiplicado por x que vai a infinito, temos x\ln(x)\to\infty. Então \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty.
Resumo: f(1)<0 e f(e)>0, e f é contínua em [1,e].

Passo 5

Por existência de raiz (Teorema do Valor Intermediário): como f é contínua em [1,e] e f(1)=-1<0<f(e), existe pelo menos um c\in(1,e) tal que f\text{(c)}=0.
Para garantir unicidade dessa raiz no intervalo (1,e) usamos monotonicidade: para x\ge1 temos \ln(x)\ge0, então
f'(x)=\ln(x)+1 \ge 0+1 = 1>0
para todo x\ge1. Portanto f é estritamente crescente em [1,\infty), em particular em [1,e]. Uma função estritamente crescente não pode trocar de sinal mais de uma vez; assim existe exatamente uma raiz em (1,e).

Passo 6

Podemos também observar (opcional, para ver unicidade global) que f tem um único mínimo em x=1/e e que f(1/e)= -1-\tfrac{1}{e}<0. Como \lim_{x\to0^+}f(x)=-1<0 e \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty, a única vez que f cruza o eixo x ocorre quando sobe para +\infty depois do mínimo; portanto há exatamente uma raiz em todo o domínio (0,\infty). Isso reforça que o único zero está no intervalo onde a função já é crescente, por exemplo em (1,e).

Resposta

(a) (1,e)\n
(b) Porque f(1)=-1<0<f(e)=e-1 (então por Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz em (1,e)) e f'(x)=\ln(x)+1\ge1>0 para x\ge1, logo f é estritamente crescente em [1,\infty) e a raiz em (1,e) é única.

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