Questão 1: Seja dada a função
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de
b) Justifique a escolha do intervalo
a) Encontre um intervalo (a,b) onde existe somente uma raiz de
b) Justifique a escolha do intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar um intervalo
onde exista somente uma raiz da equação . - (b) Justificar a escolha do intervalo.
Informações relevantes dadas/imediatas:
- A expressão
só está definida para . Logo o domínio natural de é . - Precisamos garantir existência e unicidade da raiz dentro do intervalo escolhido.
Passo 2
Verificamos continuidade e diferenciabilidade de
, pois são ferramentas que usaremos. A função
é contínua e diferenciável em
; portanto
é contínua e diferenciável em
. Isso nos permite usar o Teorema do Valor Intermediário (para existência de raízes) e análise pela derivada (para monotonicidade e unicidade).
Passo 3
Calculamos a derivada para estudar monotonicidade.
Derivada de : usar regra do produto. Se
e
então
. Assim
Derivada de
Agora analisamos o sinal de
:
-
quando , isto é, quando . Daqui segue . - Para
temos , logo : é decrescente em . - Para
temos , logo : é crescente em .
Concluímos que
é o ponto de mínimo global de
em
.
Passo 4
Avaliamoes valores e limites relevantes para saber onde a função muda de sinal (existência de raiz).
- Avaliação em
:
Logo
.
- Avaliação em
:
Sabendo que
, obtemos
.
- Limite quando
: usamos a substituição com . Então . Portanto . - Limite quando
: como e cresce semamparo lento mas multiplicado por que vai a infinito, temos . Então .
Resumo:
e
, e
é contínua em
.
Passo 5
Por existência de raiz (Teorema do Valor Intermediário): como
é contínua em
e
, existe pelo menos um
tal que
.
Para garantir unicidade dessa raiz no intervalo
usamos monotonicidade: para
temos
, então
para todo
. Portanto
é estritamente crescente em
, em particular em
. Uma função estritamente crescente não pode trocar de sinal mais de uma vez; assim existe exatamente uma raiz em
.
Passo 6
Podemos também observar (opcional, para ver unicidade global) que
tem um único mínimo em
e que
. Como
e
, a única vez que
cruza o eixo
ocorre quando sobe para
depois do mínimo; portanto há exatamente uma raiz em todo o domínio
. Isso reforça que o único zero está no intervalo onde a função já é crescente, por exemplo em
.
Resposta
(a)
\n
(b) Porque (então por Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz em
) e
para
, logo
é estritamente crescente em
e a raiz em
é única.
(b) Porque