Questão 3. Seja f uma função definida por
f(x)=ll x^2-1 & , x<-1 4-4 x^2 & ,-1 <= x <= 1 x^2-1 & , 1
(a) Prove que f é contínua em x=1.

Passo 1

Beleza, vamo lá: a questão pede pra provar que a função
f(x)= x^2-1, & x<-1, 4-4x^2, & -1<= x<=1, x^2-1, & x>1
é contínua em limxto a^-f(x)=limxto a^+f(x)=f(a). Isso é cálculo diferencial/integração (continuidade). Pra resolver, a gente vai usar o conceito de limite e a definição de função contínua num ponto:
“Uma função é contínua em se

Passo 2

Primeiro, vamos achar f(1)=4-4cdot1^2=4-4=0 . Como está no intervalo , vale a regra do meio:
Então a gente quer mostrar que tanto o limite pela esquerda quanto o da direita valem .

Passo 3

Limite pela esquerda ( limxto1^-f(x) =limxto1^-(4-4x^2) =4-4cdot1^2 =0 ). Para mas perto de , ainda estamos no trecho , logo

Passo 4

Limite pela direita ( limxto1^+f(x) =limxto1^+(x^2-1) =1^2-1 =0 ). Agora , então usamos a fórmula . Daí

Passo 5

Aí está o pulo do gato: ambos os limites (pela esquerda e pela direita) deram , e isso bate certinho com .

Resposta

Como
, concluímos que é contínua em .

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