Sobre a reta de quadrados mínimos
calculada a partir dos pontos
, é falso afirmar que:
Escolha uma:
Dois pontos com a mesma abscissa não podem ser usados para o ajuste de quadrados mínimos.
Para
e
podem ser obtidos por interpolação.
A reta minimiza a soma dos quadrados das distâncias verticais de cada ponto à reta.
Se o coeficiente de determinação
, então pelo menos um ponto fica acima da reta e pelo menos um outro abaixo.
A reta pode não passar por um ponto dado.
Dois pontos com a mesma abscissa não podem ser usados para o ajuste de quadrados mínimos.
Para
A reta minimiza a soma dos quadrados das distâncias verticais de cada ponto à reta.
A reta pode não passar por um ponto dado.
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das afirmações sobre a reta de mínimos quadrados
, ajustada a partir dos pontos
, é falsa.
As afirmações dadas são (copiadas do enunciado):
As afirmações dadas são (copiadas do enunciado):
- Dois pontos com a mesma abscissa não podem ser usados para o ajuste de quadrados mínimos.
- Para
, e podem ser obtidos por interpolação. - A reta minimiza a soma dos quadrados das distâncias verticais de cada ponto à reta.
- Se o coeficiente de determinação
, então pelo menos um ponto fica acima da reta e pelo menos um outro abaixo. - A reta pode não passar por um ponto dado.
Aqui vamos verificar cada frase com calma e decidir qual é falsa.
Passo 2
Relembrando o que é ajuste por mínimos quadrados (passo didático).
Definimos o erro (resíduo) no ponto como a diferença vertical entre a observação e a reta:
Definimos o erro (resíduo) no ponto
O ajuste por mínimos quadrados escolhe
e
que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:
Isto é exatamente o sentido da afirmação 3; veremos depois em detalhe.
Passo 3
Derivação das equações normais (como se obtêm
e
; aula curta).
Para minimizar tomamos derivadas parciais e igualamos a zero:
Para minimizar
Essas duas equações são as chamadas equações normais e podem ser rearranjadas para dar fórmulas práticas para
e
.
Passo 4
Resolvendo as equações normais obtemos as fórmulas usuais (explicando cada símbolo). Definimos as médias:
A partir das normais chega-se (é um cálculo direto, posso detalhar se quiseres) às fórmulas
Interpretação: o numerador é a covariância amostral (produto das “variações” de
e
); o denominador é a variância amostral de
. Se o denominador for zero, não dá para calcular
.
Passo 5
Analisando a frase 1 com base na fórmula de
.
A fórmula mostra que é indefinido se
A fórmula mostra que
o que acontece exatamente quando todos os
são iguais (ou seja, todas as abscissas coincidem). Nesse caso não é possível estimar uma reta com inclinação; geometricamente os pontos têm todos a mesma abscissa (uma reta vertical), e o modelo
(que é função de
) não pode explicar variação em
.
Mas ter apenas dois pontos com a mesma abscissa, entre outros com abscissas diferentes, NÃO provoca . Ou seja, ter repetição de abscissas não impede, por si só, o ajuste — o problema só ocorre se todas as abscissas forem idênticas. Portanto a afirmação 1, que diz que “Dois pontos com a mesma abscissa não podem ser usados”, é muito forte e incorreta: dois pontos com mesma abscissa podem perfeitamente entrar no ajuste, desde que haja variação em
no conjunto todo.
Mas ter apenas dois pontos com a mesma abscissa, entre outros com abscissas diferentes, NÃO provoca
Passo 6
Verificando as outras afirmações (para confirmar que só a 1 é falsa):
-
Frase 2: Para
(com ) a reta de mínimos quadrados coincide com a reta que interpola os dois pontos, porque com só dois pontos a melhor reta que minimiza os quadrados dos resíduos é exatamente a reta que passa pelos dois pontos (os resíduos tornam-se zero). Logo é verdadeira. -
Frase 3: Já vimos na definição (Passo 2) que o critério de ajuste é minimizar
, isto é “a soma dos quadrados das distâncias verticais”. Portanto verdadeira. -
Frase 4: Para o modelo com intercepto, das equações normais pode-se mostrar que
Se
então nem todos os resíduos
são zero (não há ajuste perfeito). Como a soma deles é zero e nem todos são zero, deve haver resíduos positivos e negativos — ou seja, pelo menos um ponto acima da reta e pelo menos um abaixo. Logo a afirmação 4 é verdadeira.
- Frase 5: A reta pode não passar por nenhum ponto observado (por exemplo quando os pontos estão dispersos); em geral o ajuste dá uma reta que passa pelo ponto médio
(pois e foram construídos com médias), mas isso não garante que exista um com . Portanto é verdadeira a afirmação de que a reta pode não passar por um ponto dado.
Passo 7
Resumo lógico: verificamos que as afirmações
são corretas (com as explicações acima) e que a afirmação
é falsa porque confunde “dois pontos com mesma abscissa” com “todas as abscissas iguais”. Só a afirmativa 1 está incorreta.
Resposta
Dois pontos com a mesma abscissa não podem ser usados para o ajuste de quadrados mínimos.