Sobre a reta de quadrados mínimos u(x)=b_{0}+b_{1} x calculada a partir dos pontos \left(x_{i}, y_{i}\right), i=1,2, \ldots, n, é falso afirmar que:
Escolha uma:
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Dois pontos com a mesma abscissa não podem ser usados para o ajuste de quadrados mínimos.
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Para n=2, b_{0} e b_{1} podem ser obtidos por interpolação.
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A reta minimiza a soma dos quadrados das distâncias verticais de cada ponto à reta.
Se o coeficiente de determinação r^{2} \neq 1, então pelo menos um ponto fica acima da reta e pelo menos um outro abaixo.
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A reta pode não passar por um ponto dado.

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das afirmações sobre a reta de mínimos quadrados u(x)=b_{0}+b_{1}x, ajustada a partir dos pontos (x_i,y_i), i=1,\dots,n, é falsa.
As afirmações dadas são (copiadas do enunciado):
  1. Dois pontos com a mesma abscissa não podem ser usados para o ajuste de quadrados mínimos.
  2. Para n=2, b_{0} e b_{1} podem ser obtidos por interpolação.
  3. A reta minimiza a soma dos quadrados das distâncias verticais de cada ponto à reta.
  4. Se o coeficiente de determinação r^{2}\neq 1, então pelo menos um ponto fica acima da reta e pelo menos um outro abaixo.
  5. A reta pode não passar por um ponto dado.
Aqui vamos verificar cada frase com calma e decidir qual é falsa.

Passo 2

Relembrando o que é ajuste por mínimos quadrados (passo didático).
Definimos o erro (resíduo) no ponto i como a diferença vertical entre a observação e a reta:
e_i = y_i - u(x_i) = y_i - (b_0 + b_1 x_i).
O ajuste por mínimos quadrados escolhe b_0 e b_1 que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:
S(b_0,b_1)=\sum_{i=1}^n e_i^2=\sum_{i=1}^n \bigl(y_i - b_0 - b_1 x_i\bigr)^2.
Isto é exatamente o sentido da afirmação 3; veremos depois em detalhe.

Passo 3

Derivação das equações normais (como se obtêm b_0 e b_1; aula curta).
Para minimizar S(b_0,b_1) tomamos derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial S}{\partial b_0}=-2\sum_{i=1}^n \bigl(y_i - b_0 - b_1 x_i\bigr)=0,
\frac{\partial S}{\partial b_1}=-2\sum_{i=1}^n x_i\bigl(y_i - b_0 - b_1 x_i\bigr)=0.
Essas duas equações são as chamadas equações normais e podem ser rearranjadas para dar fórmulas práticas para b_0 e b_1.

Passo 4

Resolvendo as equações normais obtemos as fórmulas usuais (explicando cada símbolo). Definimos as médias:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i.
A partir das normais chega-se (é um cálculo direto, posso detalhar se quiseres) às fórmulas
b_1=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}, \qquad b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}.
Interpretação: o numerador é a covariância amostral (produto das “variações” de x e y); o denominador é a variância amostral de x. Se o denominador for zero, não dá para calcular b_1.

Passo 5

Analisando a frase 1 com base na fórmula de b_1.
A fórmula mostra que b_1 é indefinido se
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = 0,
o que acontece exatamente quando todos os x_i são iguais (ou seja, todas as abscissas coincidem). Nesse caso não é possível estimar uma reta com inclinação; geometricamente os pontos têm todos a mesma abscissa (uma reta vertical), e o modelo u(x)=b_0+b_1 x (que é função de x) não pode explicar variação em y.
Mas ter apenas dois pontos com a mesma abscissa, entre outros com abscissas diferentes, NÃO provoca \sum (x_i-\bar{x})^2=0. Ou seja, ter repetição de abscissas não impede, por si só, o ajuste — o problema só ocorre se todas as abscissas forem idênticas. Portanto a afirmação 1, que diz que “Dois pontos com a mesma abscissa não podem ser usados”, é muito forte e incorreta: dois pontos com mesma abscissa podem perfeitamente entrar no ajuste, desde que haja variação em x no conjunto todo.

Passo 6

Verificando as outras afirmações (para confirmar que só a 1 é falsa):
  • Frase 2: Para n=2 (com x_1\neq x_2) a reta de mínimos quadrados coincide com a reta que interpola os dois pontos, porque com só dois pontos a melhor reta que minimiza os quadrados dos resíduos é exatamente a reta que passa pelos dois pontos (os resíduos tornam-se zero). Logo é verdadeira.
  • Frase 3: Já vimos na definição (Passo 2) que o critério de ajuste é minimizar \sum e_i^2, isto é “a soma dos quadrados das distâncias verticais”. Portanto verdadeira.
  • Frase 4: Para o modelo com intercepto, das equações normais pode-se mostrar que
\sum_{i=1}^n e_i = 0.
Se r^2\neq 1 então nem todos os resíduos e_i são zero (não há ajuste perfeito). Como a soma deles é zero e nem todos são zero, deve haver resíduos positivos e negativos — ou seja, pelo menos um ponto acima da reta e pelo menos um abaixo. Logo a afirmação 4 é verdadeira.
  • Frase 5: A reta pode não passar por nenhum ponto observado (por exemplo quando os pontos estão dispersos); em geral o ajuste dá uma reta que passa pelo ponto médio (\bar{x},\bar{y}) (pois b_0 e b_1 foram construídos com médias), mas isso não garante que exista um i com (x_i,y_i)=(\bar{x},\bar{y}). Portanto é verdadeira a afirmação de que a reta pode não passar por um ponto dado.

Passo 7

Resumo lógico: verificamos que as afirmações 2,3,4,5 são corretas (com as explicações acima) e que a afirmação 1 é falsa porque confunde “dois pontos com mesma abscissa” com “todas as abscissas iguais”. Só a afirmativa 1 está incorreta.

Resposta

Dois pontos com a mesma abscissa não podem ser usados para o ajuste de quadrados mínimos.

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