Questão 3-O trabalho W realizado por um gás para mudar o seu volume inicial V_{i} para volume final V_{f} no recipiente é dado pela integral abaixo, onde P(v) é a pressão do gás em um volume v.
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} P(v) d V
A tabela abaixo mostra o volume ( \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} ) ocupado pelo gás aquecido em um recipiente submetido a uma dada pressão ( \mathrm{em} \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{2} ).
V 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1 4,3 4,5
P 80 75 70 65 59 53 47 44 39 35 30 26 22
Determine o valor aproximado do trabalho \mathrm{W}(\mathrm{em} \mathrm{kgm}) realizado pelo gás usando somente a segunda regra de Simpson.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o trabalho
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} P(v)\,dV
usando somente a segunda regra de Simpson. Os dados fornecidos na tabela (peguei diretamente da tabela do enunciado) são os pares (V,P):
\begin{array}{c|ccccccccccccc} V & 1,5 & 1,8 & 2,1 & 2,4 & 2,7 & 3,0 & 3,3 & 3,5 & 3,7 & 3,9 & 4,1 & 4,3 & 4,5\\hline P & 80 & 75 & 70 & 65 & 59 & 53 & 47 & 44 & 39 & 35 & 30 & 26 & 22 \end{array}
Informações relevantes que vou usar:
  • Volume inicial V_{i}=1,5 e volume final V_{f}=4,5 (valores tirados da tabela).
  • As pressões correspondentes P(v) estão na linha de baixo da tabela (valores em \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}).
  • Os pontos da tabela não têm espaçamento uniforme em toda a extensão: de 1,5 até 3,3 o passo é 0,3, e de 3,3 até 4,5 o passo é 0,2. (Notei isso olhando as colunas da tabela.)

Passo 2

Explico a “segunda regra de Simpson” (também chamada regra de Simpson 3/8) — a ferramenta que o enunciado exige.
A regra de Simpson 3/8 aproxima a integral em um intervalo [a,b] com n subintervalos de passo uniforme h=(b-a)/n, quando n é múltiplo de 3. Se escrevemos f_i=f(x_i) com x_i=a+ih para i=0,\dots,n, então a aproximação é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\left[f_0+f_n + 3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod{3}}}^{n-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\pmod{3}}}^{n-3} f_i\right].
O que isso significa, em palavras simples:
  • h é o espaçamento entre pontos.
  • Os índices internos são divididos em dois grupos: aqueles cujo índice é múltiplo de 3 (exceto as extremidades) recebem coeficiente 2, e os demais recebem coeficiente 3.
  • A fórmula exige passo uniforme e que o número de subintervalos n seja múltiplo de 3.
Vou aplicar essa regra aos dados da tabela. Como o espaçamento muda na metade, vou dividir o integral em duas partes, cada uma com passo uniforme e com número de subintervalos múltiplo de 3. Isso é permitido: podemos somar aproximações em subintervalos disjuntos.

Passo 3

Divisão em dois subintervalos (usei os pontos e espaçamentos exatamente da tabela):
  1. Intervalo de 1,5 até 3,3:
  • Pontos: 1,5;1,8;2,1;2,4;2,7;3,0;3,3.
  • Passo h_1=0,3.
  • Número de subintervalos n_1=\dfrac{3,3-1,5}{0,3}=6, que é múltiplo de 3. OK.
Associo pressões (da tabela) como f_0=80, f_1=75, f_2=70, f_3=65, f_4=59, f_5=53, f_6=47.
  1. Intervalo de 3,3 até 4,5:
  • Pontos: 3,3;3,5;3,7;3,9;4,1;4,3;4,5.
  • Passo h_2=0,2.
  • Número de subintervalos n_2=\dfrac{4,5-3,3}{0,2}=6, que também é múltiplo de 3. OK.
Associo pressões (da tabela) como g_0=47, g_1=44, g_2=39, g_3=35, g_4=30, g_5=26, g_6=22.

Passo 4

Aplicando Simpson 3/8 ao primeiro subintervalo [1,5,\,3,3] com h_1=0,3, n_1=6:
Identifico os termos:
  • f_0=80, f_6=47.
  • Índices múltiplos de 3 no interior: i=3 \Rightarrow f_3=65.
  • Índices não múltiplos de 3 no interior: i=1,2,4,5 com soma f_1+f_2+f_4+f_5=75+70+59+53=257.
Substituo na fórmula
I_1\approx \frac{3h_1}{8}\Big[f_0+f_6 + 3\cdot(257) + 2\cdot(65)\Big].
Calculo passo a passo:
\frac{3h_1}{8}=\frac{3\cdot 0,3}{8}=0,1125,
e o somatório interno é
80+47+3\cdot257+2\cdot65 = 127 + 771 + 130 = 1028.
Logo
I_1 \approx 0,1125\cdot 1028 = 115,65.
Unidade: como P está em \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2} e V em \mathrm{m}^{3}, o produto tem unidade \mathrm{kgf}\cdot\mathrm{m}.

Passo 5

Aplicando Simpson 3/8 ao segundo subintervalo [3,3,\,4,5] com h_2=0,2, n_2=6:
Identifico os termos:
  • g_0=47, g_6=22.
  • Índices múltiplos de 3 no interior: i=3 \Rightarrow g_3=35.
  • Índices não múltiplos de 3 no interior: i=1,2,4,5 com soma 44+39+30+26=139.
Substituo na fórmula
I_2\approx \frac{3h_2}{8}\Big[g_0+g_6 + 3\cdot(139) + 2\cdot(35)\Big].
Calculo passo a passo:
\frac{3h_2}{8}=\frac{3\cdot 0,2}{8}=0,075,
e o somatório interno é
47+22+3\cdot139+2\cdot35 = 69 + 417 + 70 = 556.
Logo
I_2 \approx 0,075\cdot 556 = 41,70.
Também em \mathrm{kgf}\cdot\mathrm{m}.

Passo 6

Somando as duas aproximações (porque a integral total é a soma das integrais nas duas partes):
W \approx I_1 + I_2 = 115,65 + 41,70 = 157,35.
Arredondei mantendo duas casas decimais, coerente com os dados da tabela.

Resposta

\,157,35\\ \text{kgf}\cdot\text{m}

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