Questão 3-O trabalho W realizado por um gás para mudar o seu volume inicial V_{i} para volume final V_{f} no recipiente é dado pela integral abaixo, onde P(v) é a pressão do gás em um volume v.
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} P(v) d V
A tabela abaixo mostra o volume ( \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} ) ocupado pelo gás aquecido em um recipiente submetido a uma dada pressão ( \mathrm{em} \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{2} ).
V
1,5
1,8
2,1
2,4
2,7
3,0
3,3
3,5
3,7
3,9
4,1
4,3
4,5
P
80
75
70
65
59
53
47
44
39
35
30
26
22
Determine o valor aproximado do trabalho \mathrm{W}(\mathrm{em} \mathrm{kgm}) realizado pelo gás usando somente a segunda regra de Simpson.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o trabalho
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} P(v)\,dV
usando somente a segunda regra de Simpson. Os dados fornecidos na tabela (peguei diretamente da tabela do enunciado) são os pares (V,P):
Volume inicial V_{i}=1,5 e volume final V_{f}=4,5 (valores tirados da tabela).
As pressões correspondentes P(v) estão na linha de baixo da tabela (valores em \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}).
Os pontos da tabela não têm espaçamento uniforme em toda a extensão: de 1,5 até 3,3 o passo é 0,3, e de 3,3 até 4,5 o passo é 0,2. (Notei isso olhando as colunas da tabela.)
Passo 2
Explico a “segunda regra de Simpson” (também chamada regra de Simpson 3/8) — a ferramenta que o enunciado exige.
A regra de Simpson 3/8 aproxima a integral em um intervalo [a,b] com n subintervalos de passo uniforme h=(b-a)/n, quando n é múltiplo de 3. Se escrevemos f_i=f(x_i) com x_i=a+ih para i=0,\dots,n, então a aproximação é
Os índices internos são divididos em dois grupos: aqueles cujo índice é múltiplo de 3 (exceto as extremidades) recebem coeficiente 2, e os demais recebem coeficiente 3.
A fórmula exige passo uniforme e que o número de subintervalos n seja múltiplo de 3.
Vou aplicar essa regra aos dados da tabela. Como o espaçamento muda na metade, vou dividir o integral em duas partes, cada uma com passo uniforme e com número de subintervalos múltiplo de 3. Isso é permitido: podemos somar aproximações em subintervalos disjuntos.
Passo 3
Divisão em dois subintervalos (usei os pontos e espaçamentos exatamente da tabela):
Intervalo de 1,5 até 3,3:
Pontos: 1,5;1,8;2,1;2,4;2,7;3,0;3,3.
Passo h_1=0,3.
Número de subintervalos n_1=\dfrac{3,3-1,5}{0,3}=6, que é múltiplo de 3. OK.