Questão 2: Use a regra de Simpson para integrar a função abaixo no intervalo
com o menor esforço computacional possível (menor número de divisões do intervalo e maior precisão). Justifique.
Passo 1
O enunciado pede a integral de
no intervalo
usando a regra de Simpson com o menor número de subintervalos e máxima precisão. Vamos usar as propriedades de exatidão da regra de Simpson para polinômios de grau até
.
Passo 2
A regra de Simpson composta em
subintervalos (com
par) usa passo
e aproxima
Um ponto chave é: em cada sub-região de dois subintervalos (painel), a regra é exata se
for polinômio de grau
naquele painel.
Passo 3
Se tomarmos
(o mínimo par), temos
e os nós
. A integral pela fórmula única de Simpson seria
Mas a integral exata é
logo
está errado porque o painel único
abrange o ponto de quebra
, onde a definição de
muda, e
não é polinômio único de grau
em
.
Passo 4
Para que cada painel de Simpson (dois subintervalos) caiba inteiramente numa única expressão polinomial de
, o ponto de quebra
deve coincidir com a fronteira entre painéis. Em Simpson composta, os painéis são
. Logo precisamos que exista um índice par
tal que
. Como
e
, isso dá
O menor
par e múltiplo de
é
.
Passo 5
Escolhendo
subintervalos, temos
e os nós
Aplicando Simpson composta:
Calculando:
Então
que coincide exatamente com o valor analítico.
Resposta
A melhor escolha é usar Simpson composta com
subintervalos (
), obtendo