Questão 2: Use a regra de Simpson para integrar a função abaixo no intervalo [0,2] com o menor esforço computacional possível (menor número de divisões do intervalo e maior precisão). Justifique.
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{2}, & \text { se } & 0 \leq x \leq 1 \\\ (x-1)^{3}+1, & \text { se } & 1<x \leq 2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a integral de
f(x)= \begin{cases} x^{2}, & 0 \le x \le 1,\\\ (x-1)^{3}+1, & 1 < x \le 2 \end{cases}
no intervalo [0,2] usando a regra de Simpson com o menor número de subintervalos e máxima precisão. Vamos usar as propriedades de exatidão da regra de Simpson para polinômios de grau até 3.

Passo 2

A regra de Simpson composta em n subintervalos (com n par) usa passo
h=\frac{b-a}{n}
e aproxima
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx S = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0})+4\!\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{n-1}f(x_{i})+2\!\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{n-2}f(x_{i})+f(x_{n})\Bigr].
Um ponto chave é: em cada sub-região de dois subintervalos (painel), a regra é exata se f for polinômio de grau <=3 naquele painel.

Passo 3

Se tomarmos n=2 (o mínimo par), temos h=(2-0)/2=1 e os nós 0,1,2. A integral pela fórmula única de Simpson seria
S = \frac{1}{3}\bigl[f(0)+4f(1)+f(2)\bigr] =\frac{1}{3}\bigl[0+4\cdot1+(2-1)^{3}+1\bigr] =\frac{6}{3}=2.
Mas a integral exata é
\int_{0}^{1}x^{2}dx+\int_{1}^{2}\bigl((x-1)^{3}+1\bigr)dx =\frac{1}{3}+\Bigl[\frac{(x-1)^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{2}+1 =\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+1 =\frac{19}{12}\approx1{,}5833,
logo S=2 está errado porque o painel único [0,2] abrange o ponto de quebra x=1, onde a definição de f muda, e f não é polinômio único de grau <=3 em [0,2].

Passo 4

Para que cada painel de Simpson (dois subintervalos) caiba inteiramente numa única expressão polinomial de f, o ponto de quebra x=1 deve coincidir com a fronteira entre painéis. Em Simpson composta, os painéis são [x_{0},x_{2}], [x_{2},x_{4}],\dots. Logo precisamos que exista um índice par 2k tal que x_{2k}=1. Como x_{i}=0+i\,h e h=2/n, isso dá
0+2k\cdot\frac{2}{n}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4k}{n}=1 \quad\Longrightarrow\quad n=4k.
O menor n>0 par e múltiplo de 4 é n=4.

Passo 5

Escolhendo n=4 subintervalos, temos h=2/4=0{,}5 e os nós
x_{0}=0,\;x_{1}=0{,}5,\;x_{2}=1,\;x_{3}=1{,}5,\;x_{4}=2.
Aplicando Simpson composta:
S = \frac{0{,}5}{3}\bigl[f(0)+4f(0{,}5)+2f(1)+4f(1{,}5)+f(2)\bigr].
Calculando:
f(0)=0,\; f(0{,}5)=(0{,}5)^{2}=0{,}25,\; f(1)=1,\; f(1{,}5)=(1{,}5-1)^{3}+1=1{,}125,\; f(2)=2.
Então
S = \frac{0{,}5}{3}\Bigl[0+4\cdot0{,}25+2\cdot1+4\cdot1{,}125+2\Bigr] =\frac{0{,}5}{3}\cdot9{,}5 =\frac{4{,}75}{3} =\frac{19}{12} \approx1{,}5833,
que coincide exatamente com o valor analítico.

Resposta

A melhor escolha é usar Simpson composta com n=4 subintervalos ( h=0{,}5), obtendo
\int_{0}^{2}f(x)\,dx = \frac{19}{12}\approx1{,}5833.

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