QUESTÃO 3 [ 2 , 0 p t s ] : D a d o a t a b e l a a b a i x o , e n c o n t r e o p o l i n o ̂ m i o d e i n t e r p o l a c ̧ a ̃ o s o b r e q u a t r o p o n t o s ̧ utilizando as formas de Lagrange e Newton e calcule uma aproximação para cos(1.25)
c|c|c|c|c|c|c $x$ & 0,8 & 0,9 & 1 & 1,1 & 1,3 & 1,5 hline $operatorname c o s boldsymbol x $ & 0,6967 & 0,6216 & 0,5403 & 0,4536 & 0,2675 & 0,0707 0,8 0,9 1 1,1 1,3 1,5
0,6967 0,6216 0,5403 0,4536 0,2675 0,0707

Passo 1

Beleza, a questão pede que a gente monte um polinômio de grau 3 (quatro pontos) que passe por valores de cos(x) e use as fórmulas de Lagrange e de Newton. Depois, a gente aplica esse polinômio em x=1,25 para ter uma aproximação de cos(1,25).
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange e Newton) e avaliação de polinômio.
O que precisamos:
  1. Escolher quatro pontos mais próximos de 1,25 na tabela (vou usar x0=1,,x1=1,1,,x2=1,3,,x3=1,5).
  2. Montar o polinômio em forma de Lagrange e em forma de Newton.
  3. Calcular P(1,25).

Passo 2

Interpolação de Lagrange. A fórmula geral para grau 3 é
P(x)=sumi=0^3 yi,Li(x),
onde
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^3x-xjxi-xj,
Com (x0,y0)=(1,0,5403), (1,1,0,4536), (1,3,0,2675), (1,5,0,0707), a gente calcula cada Li(1,25):
L0(1,25)=(1,25-1,1)(1,25-1,3)(1,25-1,5)(1-1,1)(1-1,3)(1-1,5)=-0,125,
L1(1,25)=(1,25-1)(1,25-1,3)(1,25-1,5)(1,1-1)(1,1-1,3)(1,1-1,5)=0,390625,
L2(1,25)=(1,25-1)(1,25-1,1)(1,25-1,5)(1,3-1)(1,3-1,1)(1,3-1,5)=0,78125,
L3(1,25)=(1,25-1)(1,25-1,1)(1,25-1,3)(1,5-1)(1,5-1,1)(1,5-1,3)=-0,046875
Daí
$$P(1{,}25)=\sum_{i=0}^3 y_i,L_i(1{,}25)
=0{,}5403\cdot(-0{,}125)+0{,}4536\cdot0{,}390625+0{,}2675\cdot0{,}78125+0{,}0707\cdot(-0{,}046875)
\approx0{,}31532.$$

Passo 3

Interpolação de Newton. A forma de Newton é
P(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+a3(x-x0)(x-x1)(x-x2),
com a0=f[x0], a1=f[x1,x0], a2=f[x2,x1,x0], a3=f[x3,x2,x1,x0] (diferenças divididas).
Calculando rapidamente a tabela de diferenças:
f[x1,x0]=0,4536-0,54031,1-1=-0,867, f[x2,x1]=0,2675-0,45361,3-1,1=-0,9305, f[x3,x2]=-0,984
Depois
$$f[x_2,x_1,x_0]=\frac{-0{,}9305-(-0{,}867)}{1{,}3-1}=-0{,}21167,\quad
f[x_3,x_2,x_1]=\frac{-0{,}984-(-0{,}9305)}{1{,}5-1{,}1}=-0{,}13375, f[x2,x1,x0]=-0,9305-(-0,867)1,3-1=-0,21167, f[x3,x2,x1]=-0,984-(-0,9305)1,5-1,1=-0,13375,f[x_3,x_2,x_1,x_0]=\frac{-0{,}13375-(-0{,}21167)}{1{,}5-1}=0{,}15584.$$
Logo
f[x3,x2,x1,x0]=-0,13375-(-0,21167)1,5-1=0,15584
Plugando P(x)=0,5403 -0,867,(x-1) -0,21167,(x-1)(x-1,1) +0,15584,(x-1)(x-1,1)(x-1,3) dá de novo
x=1,25

Resposta

Aproximação de cos(1,25) pelo polinômio interpolador (grau 3) é
boxed0,3153 (aproximadamente)

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