QUESTÃO 3 [
utilizando as formas de Lagrange e Newton e calcule uma aproximação para
0,8
0,9
1
1,1
1,3
1,5
0,6967
0,6216
0,5403
0,4536
0,2675
0,0707
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0,8 | 0,9 | 1 | 1,1 | 1,3 | 1,5 |
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0,6967 | 0,6216 | 0,5403 | 0,4536 | 0,2675 | 0,0707 |
Passo 1
Beleza, a questão pede que a gente monte um polinômio de grau 3 (quatro pontos) que passe por valores de
e use as fórmulas de Lagrange e de Newton. Depois, a gente aplica esse polinômio em
para ter uma aproximação de
.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange e Newton) e avaliação de polinômio.
O que precisamos:
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange e Newton) e avaliação de polinômio.
O que precisamos:
- Escolher quatro pontos mais próximos de
na tabela (vou usar ). - Montar o polinômio em forma de Lagrange e em forma de Newton.
- Calcular
.
Passo 2
Interpolação de Lagrange. A fórmula geral para grau 3 é
onde
Com
,
,
,
, a gente calcula cada
:
Daí
$$P(1{,}25)=\sum_{i=0}^3 y_i,L_i(1{,}25)
=0{,}5403\cdot(-0{,}125)+0{,}4536\cdot0{,}390625+0{,}2675\cdot0{,}78125+0{,}0707\cdot(-0{,}046875)
\approx0{,}31532.$$
Passo 3
Interpolação de Newton. A forma de Newton é
com
Calculando rapidamente a tabela de diferenças:
Depois
$$f[x_2,x_1,x_0]=\frac{-0{,}9305-(-0{,}867)}{1{,}3-1}=-0{,}21167,\quad
f[x_3,x_2,x_1]=\frac{-0{,}984-(-0{,}9305)}{1{,}5-1{,}1}=-0{,}13375,
f[x_3,x_2,x_1,x_0]=\frac{-0{,}13375-(-0{,}21167)}{1{,}5-1}=0{,}15584.$$
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Resposta
Aproximação de
pelo polinômio interpolador (grau 3) é