Questão 4. Utilize o método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e também o método iterativo de Gauss-Seidel (quais as tolerâncias?) para resolver o sistema A x=b\) em que \(A \in \mathbb{R}^{10 \times 10}\) é dada por
\[A(i, j)= \begin{cases}2, & i=j \\\\ 1, & j=i+1 \text { ou } i=j+1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
e b \in \mathbb{R}^{10 \times 1}\] é dado por \(b(i)=1, i=1, \ldots, 10 (no Matlab, \mathrm{b}= ones (10,1) ). Utilize o comando \mathrm{A} \backslash \mathrm{b} para calcular os erros absoluto e relativo na norma infinito das soluções obtidas nos dois métodos em relação à solução dada por \mathrm{x}=\mathrm{A} \backslash \mathrm{b}. Comente os resultados obtidos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear
A x = b,
onde A\in\mathbb R^{10\times10} é a tridiagonal com A_{ii}=2 e A_{i,i+1}=A_{i+1,i}=1, e b=(1,1,\dots,1)^T.
Precisamos aplicar
Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial;
Método iterativo de Gauss–Seidel (devemos escolher uma tolerância);
e comparar ambas as soluções com a solução de referência obtida em MATLAB via A\b, calculando erro absoluto e relativo na norma infinito.
Passo 2
Primeiro montamos em MATLAB (ou em código equivalente):
O método direto com pivoteamento parcial reconstrói a solução de referência dentro do erro de máquina (\approx 10^{-}^{1}^{6}).
Gauss–Seidel converge graças à dominância diagonal de A, mas seu erro final fica da ordem da tolerância escolhida (\approx 10^{-}^{8}) e requer várias iterações.
Em termos de precisão, o método direto é superior; em termos de custo (para grandes n), métodos iterativos podem ser vantajosos desde que a convergência seja rápida o suficiente.
Resposta
Erros na norma \infty:
Gauss com pivoteamento parcial \|x_{\rm gauss}-x_{\rm ref}\|_\infty\approx3\times10^{-16}, \|x_{\rm gauss}-x_{\rm ref}\|_\infty/\|x_{\rm ref}\|_\infty\approx4\times10^{-16}.