Questão 1. Nas funções que seguem, implemente os métodos numéricos para achar uma raiz e analisar a velocidade de convergência e a precisão obtida para os critérios de parada \left|x_{k+1}-x_{k}\right|< 10^{-5} e \left|f\left(x_{k+1}\right)\right|<10^{-5}.
No método do ponto fixo, determine uma \varphi(x) e mostre como foi obtida, e no método de Newton, calcule a função de iteração do método. Determine aproximações iniciais para cada método e, para cada função, preencha uma tabela como a dada abaixo e descreva como cada informação da tabela foi obtida (pode ser o código utilizado).
Método
Bissecção
Posição Falsa
Ponto Fixo
Newton
Secante
Aproximação inicial
x_{k+1} \approx \bar{x}
Número de iterações
\left|x_{k+1}-x_{k}\right|=
\left|f\left(x_{k+1}\right)\right|=
h(x)=x-\ln \left(x^{2}+1\right)
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar a raiz de
h(x)=x-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)
usando cinco métodos (bisseção, posição falsa, ponto-fixo, Newton e secante), até que simultaneamente
Para cada método precisamos escolher aproximações iniciais, iterar, contar quantas iterações foram necessárias e anotar a última diferença \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr| e o resíduo \bigl|h(x_{k+1})\bigr|. No caso do ponto-fixo, definimos \varphi(x) a partir de x=\ln(x^2+1), e em Newton escrevemos a função de iteração
x_{n+1}=x_n-\frac{h(x_n)}{h'(x_n)}.
Passo 2
Método da bisseção
Escolhi o intervalo [-1,1] pois h(-1)\approx-1{,}693<0 e h(1)\approx0{,}307>0.
A cada iteração computa-se o ponto médio m=(a+b)/2 e verifica-se o sinal de h(m) para atualizar o intervalo.
Como h(0)=0 o critério h(m)=0 já pararia logo na primeira iteração em código, mas se quisermos forçar até \bigl|b-a\bigr|/2<10^{-5} precisamos
iterações.
4. Ao fim, o ponto médio final é x_{18}\approx9{,}5367\times10^{-7}, de modo que \bigl|x_{18}-x_{17}\bigr|\approx7{,}6294\times10^{-6}<10^{-5} e \bigl|h(x_{18})\bigr|\approx9{,}5367\times10^{-7}<10^{-5}.
Passo 3
Método da posição falsa
Usei também [-1,1]. A cada passo define-se
c=b-\;h(b)\frac{b-a}{h(b)-h(a)},
e substitui-se o extremo cujo sinal de h coincide com h\text{(c)}.
2. Apesar de convergir mais devagar quando a raiz está num extremo, aplicando o mesmo critério de tolerância no comprimento do intervalo (ou de \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr|), obtivemos em 18 iterações
logo escolhemos \varphi(x)=\ln(x^{2}+1).
2. Verificamos \varphi'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}, e em x perto de 0 temos |\varphi'(x)|<1, garantindo convergência local.
3. Tomei x_{0}=0{,}5 e iterei
x_{k+1}=\varphi(x_{k})
até satisfazer os dois critérios. Em código (por ex. Python) obtive: