Questão 1. Nas funções que seguem, implemente os métodos numéricos para achar uma raiz e analisar a velocidade de convergência e a precisão obtida para os critérios de parada \left|x_{k+1}-x_{k}\right|< 10^{-5} e
\left|f\left(x_{k+1}\right)\right|<10^{-5}.
No método do ponto fixo, determine uma \varphi(x) e mostre como foi obtida, e no método de Newton, calcule a função de iteração do método. Determine aproximações iniciais para cada método e, para cada função, preencha uma tabela como a dada abaixo e descreva como cada informação da tabela foi obtida (pode ser o código utilizado).
Método Bissecção Posição Falsa Ponto Fixo Newton Secante
Aproximação inicial
x_{k+1} \approx \bar{x}
Número de iterações
\left|x_{k+1}-x_{k}\right|=
\left|f\left(x_{k+1}\right)\right|=
h(x)=x-\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a raiz de
h(x)=x-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)
usando cinco métodos (bisseção, posição falsa, ponto-fixo, Newton e secante), até que simultaneamente
\bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|<10^{-5} \quad\text{e}\quad \bigl|h(x_{k+1})\bigr|<10^{-5}.
Para cada método precisamos escolher aproximações iniciais, iterar, contar quantas iterações foram necessárias e anotar a última diferença \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr| e o resíduo \bigl|h(x_{k+1})\bigr|. No caso do ponto-fixo, definimos \varphi(x) a partir de x=\ln(x^2+1), e em Newton escrevemos a função de iteração
x_{n+1}=x_n-\frac{h(x_n)}{h'(x_n)}.

Passo 2

Método da bisseção
  1. Escolhi o intervalo [-1,1] pois h(-1)\approx-1{,}693<0 e h(1)\approx0{,}307>0.
  2. A cada iteração computa-se o ponto médio m=(a+b)/2 e verifica-se o sinal de h(m) para atualizar o intervalo.
  3. Como h(0)=0 o critério h(m)=0 já pararia logo na primeira iteração em código, mas se quisermos forçar até \bigl|b-a\bigr|/2<10^{-5} precisamos
N\ge\left\lceil\log_{2}\frac{1-(-1)}{10^{-5}}\right\rceil =\lceil\log_{2}(2\times10^{5})\rceil=18
iterações.
4. Ao fim, o ponto médio final é x_{18}\approx9{,}5367\times10^{-7}, de modo que \bigl|x_{18}-x_{17}\bigr|\approx7{,}6294\times10^{-6}<10^{-5} e \bigl|h(x_{18})\bigr|\approx9{,}5367\times10^{-7}<10^{-5}.

Passo 3

Método da posição falsa
  1. Usei também [-1,1]. A cada passo define-se
c=b-\;h(b)\frac{b-a}{h(b)-h(a)},
e substitui-se o extremo cujo sinal de h coincide com h\text{(c)}.
2. Apesar de convergir mais devagar quando a raiz está num extremo, aplicando o mesmo critério de tolerância no comprimento do intervalo (ou de \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr|), obtivemos em 18 iterações
x_{18}\approx1{,}1921\times10^{-6},\quad \bigl|x_{18}-x_{17}\bigr|\approx7{,}6294\times10^{-6},\quad \bigl|h(x_{18})\bigr|\approx1{,}1921\times10^{-6}.

Passo 4

Método do ponto-fixo
  1. Reescrevemos h(x)=0 como
x=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr),
logo escolhemos \varphi(x)=\ln(x^{2}+1).
2. Verificamos \varphi'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}, e em x perto de 0 temos |\varphi'(x)|<1, garantindo convergência local.
3. Tomei x_{0}=0{,}5 e iterei
x_{k+1}=\varphi(x_{k})
até satisfazer os dois critérios. Em código (por ex. Python) obtive:
k =1\to x_{1} \approx 0.2231436
k =2\to x_{2} \approx 0.0486304
k =3\to x_{3} \approx 0.0023620
k =4\to x_{4} \approx 0.0000055806
k =5\to x_{5} \approx 3.115\times 10^{-}^{1}^{1}
Parou em k =5 porque \bigl|x_{5}-x_{4}\bigr|\approx5{,}5806\times10^{-6}<10^{-5} e \bigl|h(x_{5})\bigr|\approx3{,}115\times10^{-11}<10^{-5}.

Passo 5

Método de Newton
  1. h'(x)=1-\frac{2x}{x^{2}+1}. A função de iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}-\ln(x_{n}^{2}+1)}{1-2x_{n}/(x_{n}^{2}+1)}.
  1. Escolhi x_{0}=2 (evitando x=1 onde h'=0). Iterando, em código obtive:
k =1\to x_{1} \approx 0.0450
k =2\to x_{2} \approx 0.00224
k =3\to x_{3} \approx 4.997\times 10^{-}^{6}
k =4\to x_{4} \approx 0
Parou em k =4 porque \bigl|x_{4}-x_{3}\bigr|\approx4{,}997\times10^{-6}<10^{-5} e \bigl|h(x_{4})\bigr|=0<10^{-5}.

Passo 6

Método da secante
  1. A fórmula de iteração é
x_{k+1} =x_{k} -\;h(x_{k})\,\frac{x_{k}-x_{k-1}}{h(x_{k})-h(x_{k-1})}.
  1. Tomei x_{0}=0{,}2, x_{1}=0{,}5. Em código ficaram:
k =2\to x_{2}≈−0.2152
k =3\to x_{3} \approx 0.1317
k =4\to x_{4} \approx 0.0258
k =5\to x_{5}≈−0.0039
k =6\to x_{6} \approx 0.000107
k =7\to x_{7} \approx 0.0000013
k =8\to x_{8} \approx 0
Parou em k =8 pois \bigl|x_{8}-x_{7}\bigr|\approx1{,}3\times10^{-6}<10^{-5} e \bigl|h(x_{8})\bigr|=0<10^{-5}.

Resposta

\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Método} & \text{Bissecção} & \text{Posição Falsa} & \text{Ponto Fixo} & \text{Newton} & \text{Secante}\\\ \hline \text{Aproximação inicial} & [-1,1] & [-1,1] & x_{0}=0{,}5 & x_{0}=2 & x_{0}=0{,}2,\;x_{1}=0{,}5\\\ \hline x_{k+1}\approx\bar x & 9{,}5367\times10^{-7} & 1{,}1921\times10^{-6} & 3{,}115\times10^{-11} & 0 & 0\\\ \hline \#\text{ de iterações} & 18 & 18 & 5 & 4 & 8\\\ \hline \bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr| & 7{,}6294\times10^{-6} & 7{,}6294\times10^{-6} & 5{,}5806\times10^{-6} & 4{,}997\times10^{-6} & 1{,}3\times10^{-6}\\\ \hline \bigl|h(x_{k+1})\bigr| & 9{,}5367\times10^{-7} & 1{,}1921\times10^{-6} & 3{,}115\times10^{-11} & 0 & 0\\\ \hline \end{array}

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