Questão 3. Escolha um método numérico de zero de funções para calcular 10 casas decimais dos números irracionais \sqrt{2}, e (número de Euler) e \pi. Justifique a escolha do método e da função, e apresente seus resultados. Observação: Não pode usar os próprios números para definir a função, por exemplo, definir f(x)=x-\sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado pede aproximar, com 10 casas decimais, os números irracionais \sqrt{2}, e e \pi usando um método de zeros de funções. Para isso precisamos: (1) escolher uma função f cuja raiz seja o número desejado e (2) adotar um método numérico para encontrar essa raiz.

Passo 2

Vamos usar o método de Newton–Raphson, cuja iteração é
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Justificativa: ele tem convergência quadrática (rapidamente duplica o número de dígitos corretos a cada iteração) e exige derivadas simples nas funções que escolhemos.

Passo 3

Aproximação de \sqrt{2}.
Escolhemos
f(x) = x^2 - 2, \quad f'(x)=2x.
A iteração de Newton fica
x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2-2}{2x_n}.
Com chute inicial x_0=1{,}5, iteramos até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-11}, obtendo
\sqrt{2}\approx1{,}4142135624.

Passo 4

Aproximação de e.
Escolhemos
f(x) = \ln(x) - 1, \quad f'(x)=\frac1x.
A iteração de Newton fica
x_{n+1} = x_n - \frac{\ln(x_n)-1}{1/x_n} = x_n\bigl(2-\ln(x_n)\bigr).
Com x_0=2, iteramos até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-11}, resultando
e\approx2{,}7182818285.

Passo 5

Aproximação de \pi.
Escolhemos
f(x) = \sin(x), \quad f'(x)=\cos(x),
e isolamos a raiz em (3,4). A iteração de Newton é
x_{n+1} = x_n - \frac{\sin(x_n)}{\cos(x_n)} = x_n - \tan(x_n).
Com chute x_0=3{,}1, iteramos até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-11}, obtendo
\pi\approx3{,}1415926536.

Resposta

\sqrt{2}\approx1{,}4142135624 e\approx2{,}7182818285 \pi\approx3{,}1415926536

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