Questão 3. Escolha um método numérico de zero de funções para calcular 10 casas decimais dos números irracionais
(número de Euler) e
. Justifique a escolha do método e da função, e apresente seus resultados. Observação: Não pode usar os próprios números para definir a função, por exemplo, definir
.
Passo 1
O enunciado pede aproximar, com 10 casas decimais, os números irracionais
,
e
usando um método de zeros de funções. Para isso precisamos: (1) escolher uma função
cuja raiz seja o número desejado e (2) adotar um método numérico para encontrar essa raiz.
Passo 2
Vamos usar o método de Newton–Raphson, cuja iteração é
Justificativa: ele tem convergência quadrática (rapidamente duplica o número de dígitos corretos a cada iteração) e exige derivadas simples nas funções que escolhemos.
Passo 3
Aproximação de
.
Escolhemos
Escolhemos
A iteração de Newton fica
Com chute inicial
, iteramos até
, obtendo
Passo 4
Aproximação de
.
Escolhemos
Escolhemos
A iteração de Newton fica
Com
, iteramos até
, resultando
Passo 5
Aproximação de
.
Escolhemos
Escolhemos
e isolamos a raiz em
. A iteração de Newton é
Com chute
, iteramos até
, obtendo