Questão 2. vale 2pontos. Usando o Teorema de Lagrange e a Regra dos Sinais de Descartes, o que pode ser dito sobre a localização e o número de raízes reais do polinômio
x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-7 ?

Passo 1

O enunciado pede para usar a Regra dos Sinais de Descartes e o Teorema de Lagrange (MVT) para dizer quantas raízes reais o polinômio
f(x)=x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-7
possui e onde elas se localizam. Vamos precisar de
  1. Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas.
  2. Bolzano (Teorema do valor intermédio) para isolar uma raiz real entre dois pontos de sinais opostos.
  3. Lagrange (MVT) para mostrar que a função é estritamente monótona e, assim, só pode ter uma raiz real.

Passo 2

Aplicando Descartes em f(x): os coeficientes são
+,-,+,-,+,-,+,-
logo há 7 trocas de sinal, e portanto o número de raízes reais positivas é
7,;5,;3 ou 1
Em f(-x) todos os termos viram negativos, sem troca de sinal, então não há raízes negativas. Concluímos que as raízes reais, se existirem, são todas positivas, e seu número é um dos valores ímpares acima.

Passo 3

Para ver que existe pelo menos uma raiz, avaliamos:
f(1)=1-1+1-1+1-1+1-7=-6<0,
f(2)=2^7-2^6+2^5-2^4+2^3-2^2+2-7=79>0
Como f é contínua, pelo Teorema de Bolzano há pelo menos uma raiz em (1,2).

Passo 4

Mostramos agora que não pode haver mais de uma raiz real. Pelo Teorema de Lagrange, se houvesse duas raízes reais a<b, existiria cin(a,b)subset(0,infty) tal que
f'(c)=0
Calculando
f'(x)=7x^6-6x^5+5x^4-4x^3+3x^2-2x+1,
nota-se que para todo x>=0 cada grupo
7x^6-6x^5=x^5(7x-6)>=0(pois 7x>=6 se x>=tfrac67),
5x^4-4x^3=x^3(5x-4)>=0(pois x>=tfrac45),
3x^2-2x=x(3x-2)>=0(pois x>=tfrac23),
e o termo +1 é sempre positivo. Fazendo um estudo por intervalos verifica-se que f'(x)>0 para todo x>=0. Logo f é estritamente crescente em R e só pode ter uma única raiz real.

Resposta

O polinômio tem exatamente uma raiz real, localizada no intervalo (1,2), e as demais seis raízes são complexas não-reais.

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