Questão 2. vale 2pontos. Usando o Teorema de Lagrange e a Regra dos Sinais de Descartes, o que pode ser dito sobre a localização e o número de raízes reais do polinômio
Passo 1
O enunciado pede para usar a Regra dos Sinais de Descartes e o Teorema de Lagrange (MVT) para dizer quantas raízes reais o polinômio
possui e onde elas se localizam. Vamos precisar de
- Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas.
- Bolzano (Teorema do valor intermédio) para isolar uma raiz real entre dois pontos de sinais opostos.
- Lagrange (MVT) para mostrar que a função é estritamente monótona e, assim, só pode ter uma raiz real.
Passo 2
Aplicando Descartes em
: os coeficientes são
logo há 7 trocas de sinal, e portanto o número de raízes reais positivas é
Em
todos os termos viram negativos, sem troca de sinal, então não há raízes negativas. Concluímos que as raízes reais, se existirem, são todas positivas, e seu número é um dos valores ímpares acima.
Passo 3
Para ver que existe pelo menos uma raiz, avaliamos:
Como
é contínua, pelo Teorema de Bolzano há pelo menos uma raiz em
.
Passo 4
Mostramos agora que não pode haver mais de uma raiz real. Pelo Teorema de Lagrange, se houvesse duas raízes reais
, existiria
tal que
Calculando
nota-se que para todo
cada grupo
e o termo
é sempre positivo. Fazendo um estudo por intervalos verifica-se que
para todo
. Logo
é estritamente crescente em
e só pode ter uma única raiz real.
Resposta
O polinômio tem exatamente uma raiz real, localizada no intervalo
, e as demais seis raízes são complexas não-reais.