utilizando a técnica de Cholesky e admitindo 4 casas decimais. As tarefas são:
A.1) Mostrar a metodologia da técnica de Cholesky.
A.2) “Fazer 6 soluções” — neste contexto vou interpretar como obter os seis valores necessários na factorização (os elementos independentes da fatoração triangular para uma matriz 3\times3) e, em seguida, resolver o sistema.
Dados relevantes (extraídos diretamente do enunciado): a matriz dos coeficientes é
O que é a técnica de Cholesky (aula rápida e prática).
A fatoração de Cholesky padrão procura uma matriz triangular inferior G tal que
A = G\,G^{T},
onde G é triangular inferior com entradas g_{ij} e g_{ii}>0. As fórmulas (algoritmo direto) para calcular os termos de G em ordem de linhas são: para i=1,\dots,n
Observação importante (didática): o método acima exige que A seja simétrica e definida positiva (todos os menores principais positivos). Se em algum passo surgir uma raiz de número negativo, a Cholesky padrão não é aplicável. Neste caso existe uma variação muito usada para matrizes simétricas (mas possivelmente indefinidas) chamada fatoração LDL^{T}, que é similar e que vou usar se a Cholesky falhar. Vou explicar o LDL^{T} na prática.
Passo 3
Tentativa direta de Cholesky (mostrar por que pode falhar aqui).
que é uma raiz de número negativo. Conclusão: a matriz A NÃO é definida positiva (de fato o menor principal 2\times2 é negativo) e, portanto, a Cholesky padrão não é aplicável aqui.
Passo 4
Introdução ao método alternativo LDL^{T} (prático e muito parecido com Cholesky).
Para matrizes simétricas podemos escrever
A=L\,D\,L^{T},
onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal (ou seja, unitária) e D é diagonal. Essa fatoração existe (desde que não tenhamos pivô zero) mesmo quando A não é definida positiva. As fórmulas (algoritmo) são, para j=1,\dots,n:
Observação didática: L tem n(n-1)/2 elementos abaixo da diagonal e D tem n elementos; no caso n=3 teremos exatamente 6 números independentes (3 diagonais de D e 3 subdiagonais de L), que é coerente com a solicitação de “6 soluções”.
Passo 5
Cálculo passo a passo da fatoração LDL^{T} para A (usar 4 casas decimais quando numérico).