3ㅇ QUESTÃO (0,6 PONTO): Resolver o sistema de equações utilizando a técnica de Cholesky, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}^{(k)}-2 x_{2}^{(k)}-6 x_{3}^{(k)}=-4 \\\\ -2 x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+6 x_{3}^{(k)}=7 ; \\\\ -6 x_{1}^{(k)}+6 x_{2}^{(k)}+16 x_{3}^{(k)}=-1 \end{array}\right.
A.1.) Mostrar a metodologia da técnica de Cholesky.
A.2.) Fazer 6 soluções.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}^{(k)}-2 x_{2}^{(k)}-6 x_{3}^{(k)}=-4,\\\\ -2 x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+6 x_{3}^{(k)}=7,\\\\ -6 x_{1}^{(k)}+6 x_{2}^{(k)}+16 x_{3}^{(k)}=-1, \end{array}\right.
utilizando a técnica de Cholesky e admitindo 4 casas decimais. As tarefas são:
A.1) Mostrar a metodologia da técnica de Cholesky.
A.2) “Fazer 6 soluções” — neste contexto vou interpretar como obter os seis valores necessários na factorização (os elementos independentes da fatoração triangular para uma matriz 3\times3) e, em seguida, resolver o sistema.
Dados relevantes (extraídos diretamente do enunciado): a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}2 & -2 & -6\\\\ -2 & 1 & 6\\\\ -6 & 6 & 16\end{pmatrix}
e o vetor termo independente é
b=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]7\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é a técnica de Cholesky (aula rápida e prática).
  • A fatoração de Cholesky padrão procura uma matriz triangular inferior G tal que
A = G\,G^{T},
onde G é triangular inferior com entradas g_{ij} e g_{ii}>0. As fórmulas (algoritmo direto) para calcular os termos de G em ordem de linhas são: para i=1,\dots,n
g_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1}g_{ik}^{2}},
e para j>i
g_{ji}=\frac{1}{g_{ii}}\Big(a_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1}g_{jk}g_{ik}\Big).
  • Observação importante (didática): o método acima exige que A seja simétrica e definida positiva (todos os menores principais positivos). Se em algum passo surgir uma raiz de número negativo, a Cholesky padrão não é aplicável. Neste caso existe uma variação muito usada para matrizes simétricas (mas possivelmente indefinidas) chamada fatoração LDL^{T}, que é similar e que vou usar se a Cholesky falhar. Vou explicar o LDL^{T} na prática.

Passo 3

Tentativa direta de Cholesky (mostrar por que pode falhar aqui).
  • Primeiro termo:
g_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{2}\approx 1{,}4142.
  • Próximo termo:
g_{21}=\frac{a_{21}}{g_{11}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\approx -1{,}4142.
  • Agora precisaríamos de
g_{22}=\sqrt{a_{22}-g_{21}^{2}}=\sqrt{1-(-1{,}4142)^{2}}=\sqrt{1-2}=\sqrt{-1},
que é uma raiz de número negativo. Conclusão: a matriz A NÃO é definida positiva (de fato o menor principal 2\times2 é negativo) e, portanto, a Cholesky padrão não é aplicável aqui.

Passo 4

Introdução ao método alternativo LDL^{T} (prático e muito parecido com Cholesky).
  • Para matrizes simétricas podemos escrever
A=L\,D\,L^{T},
onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal (ou seja, unitária) e D é diagonal. Essa fatoração existe (desde que não tenhamos pivô zero) mesmo quando A não é definida positiva. As fórmulas (algoritmo) são, para j=1,\dots,n:
d_{j}=a_{jj}-\sum_{k=1}^{j-1} l_{jk}^{2}\,d_{k},
e para i>j
l_{ij}=\frac{1}{d_{j}}\Big(a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik}\,l_{jk}\,d_{k}\Big).
  • Observação didática: L tem n(n-1)/2 elementos abaixo da diagonal e D tem n elementos; no caso n=3 teremos exatamente 6 números independentes (3 diagonais de D e 3 subdiagonais de L), que é coerente com a solicitação de “6 soluções”.

Passo 5

Cálculo passo a passo da fatoração LDL^{T} para A (usar 4 casas decimais quando numérico).
  • j=1:
d_{1}=a_{11}=2.0000.
Para i=2,3:
l_{21}=\frac{a_{21}}{d_{1}}=\frac{-2}{2}=-1.0000,
l_{31}=\frac{a_{31}}{d_{1}}=\frac{-6}{2}=-3.0000.
  • j=2:
d_{2}=a_{22}-l_{21}^{2}d_{1}=1-( -1{,}0000)^{2}\cdot 2 =1-2=-1.0000.
Agora para i=3:
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}l_{21}d_{1}}{d_{2}} =\frac{6 - (-3)\cdot(-1)\cdot 2}{-1} =\frac{6-6}{-1}=0.0000.
  • j=3:
d_{3}=a_{33}-l_{31}^{2}d_{1}-l_{32}^{2}d_{2} =16 - (-3)^{2}\cdot 2 - 0^{2}\cdot(-1) =16-18=-2.0000.
  • Assim, em 4 casas decimais:
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\\ -1{,}0000 & 1 & 0\\\\ -3{,}0000 & 0{,}0000 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}\big(2{,}0000,\;-1{,}0000,\;-2{,}0000\big).

Passo 6

Resolução do sistema usando L\,D\,L^{T}x=b. Procedimento padrão: resolver sequencialmente
L\,y=b,\qquad D\,z=y,\qquad L^{T}x=z.
Calcule passo a passo (4 casas decimais nos resultados intermediários e finais).
  1. Resolver L\,y=b. Com L acima e b=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]7\\[4pt]-1\end{pmatrix}:
  • primeira equação: y_{1}=-4.0000.
  • segunda: -1\cdot y_{1}+y_{2}=7 \implies y_{2}=7+ y_{1}=7-4=3.0000.
  • terceira: -3\cdot y_{1}+0\cdot y_{2}+y_{3}=-1 \implies y_{3}=-1+3y_{1}=-1+3(-4)=-13.0000.
    Logo
y=\begin{pmatrix}-4{,}0000\\[4pt]3{,}0000\\[4pt]-13{,}0000\end{pmatrix}.
  1. Resolver D\,z=y (diagonal, divisão direta):
z_{1}=\frac{y_{1}}{d_{1}}=\frac{-4{,}0000}{2{,}0000}=-2{,}0000,
z_{2}=\frac{y_{2}}{d_{2}}=\frac{3{,}0000}{-1{,}0000}=-3{,}0000,
z_{3}=\frac{y_{3}}{d_{3}}=\frac{-13{,}0000}{-2{,}0000}=6{,}5000.
Assim
z=\begin{pmatrix}-2{,}0000\\[4pt]-3{,}0000\\[4pt]6{,}5000\end{pmatrix}.
  1. Resolver L^{T}x=z. Escrevendo as equações (observe L^{T}=\begin{pmatrix}1 & -1 & -3\\[2pt]0 & 1 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}):
  • da segunda equação: x_{2}=z_{2}=-3{,}0000.
  • da terceira: x_{3}=z_{3}=6{,}5000.
  • da primeira: x_{1}-x_{2}-3x_{3}=z_{1} \implies x_{1}=z_{1}+x_{2}+3x_{3}.
    Substituindo: x_{1}=-2{,}0000+(-3{,}0000)+3\cdot 6{,}5000=-2-3+19{,}5=14{,}5000.
Portanto a solução (com 4 casas decimais) é
x=\begin{pmatrix}14{,}5000\\[4pt]-3{,}0000\\[4pt]6{,}5000\end{pmatrix}.]

Resposta

A.1) Cholesky padrão não aplicável (matriz não definida positiva). Decomposição alternativa LDL^{T}: L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\\ -1{,}0000 & 1 & 0\\\\ -3{,}0000 & 0{,}0000 & 1\end{pmatrix}, D=\operatorname{diag}\big(2{,}0000,\;-1{,}0000,\;-2{,}0000\big).
A.2) \displaystyle x=\begin{pmatrix}14{,}5000\\[4pt]-3{,}0000\\[4pt]6{,}5000\end{pmatrix}.]

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