Calcule a energia potencial da interação de dois quadrupolos lineares quando estão
(a) colineares

Passo 1

O enunciado pede a energia potencial de interação de dois quadrupolos lineares dispostos colineares, ou seja, ambos com seus eixos alinhados ao vetor que os separa. O conteúdo aqui é a interação quadrupolo–quadrupolo, cuja energia é dada por
U \;=\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1^{ij}\,Q_2^{kl}}{\,}\,\partial_i\partial_j\partial_k\partial_l\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)
onde cada tensor quadrupolar linear pode ser escrito como
Q^{ij} \;=\;\frac{Q}{2}\,\bigl(3\,n^i\,n^j-\delta^{ij}\bigr)
com n^i a direção do eixo do quadrupolo e Q o seu momento escalar.

Passo 2

Em notação compacta, após calcular as quatro derivadas de 1/r, obtém‐se
\partial_i\partial_j\partial_k\partial_l\frac1r =\frac{1}{r^5}\Bigl[105\,\hat r_i\hat r_j\hat r_k\hat r_l -15\,\bigl(\delta_{ij}\hat r_k\hat r_l+\text{5 perms.}\bigr) +3\,\bigl(\delta_{ij}\delta_{kl}+\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}\bigr)\Bigr].
Denotemos esse tensor por T_{ijkl}/r^5.

Passo 3

Para dois quadrupolos lineares colineares temos
n_1^i=n_2^i=\hat r_i,
então
Q_1^{ij}=\frac{Q_1}{2}(3\hat r_i\hat r_j-\delta_{ij}), \quad Q_2^{kl}=\frac{Q_2}{2}(3\hat r_k\hat r_l-\delta_{kl}).
Substituindo em U e contraindo com T_{ijkl}, somente os termos proporcionais a \hat r_i\hat r_j\hat r_k\hat r_l sobreviverão ao choque de deltas.

Passo 4

Uma forma mais direta é usar o resultado conhecido para a parte angular da interação quadrupolo–quadrupolo:
U =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3}{4}\,\frac{Q_1Q_2}{r^5} \Bigl[35\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\psi -5\bigl(\cos^2\theta_1+\cos^2\theta_2\bigr) +2\Bigr],
em que \theta_1,\theta_2 são os ângulos dos eixos dos quadrupolos com \hat r e \psi é o ângulo entre os eixos. Para configuração colinear temos \theta_1=\theta_2=0 e \psi=0, logo \cos\theta_1=\cos\theta_2=\cos\psi=1.

Passo 5

Substituindo essas cotas angulares:
35\cdot1\cdot1\cdot1 -5\bigl(1+1\bigr) +2 =35-10+2=27.
Assim
U =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3}{4}\,\frac{Q_1Q_2}{r^5}\,27 =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{81}{4}\,\frac{Q_1Q_2}{r^5}.

Resposta

U_{\text{colinear}} =\frac{81}{4}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1\,Q_2}{r^5}.

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