Calcule a energia potencial da interação de dois quadrupolos lineares quando estão
(b) paralelos um ao outro e separados pela distância r.

Passo 1

O enunciado pede a energia potencial de interação entre dois quadrupolos lineares, orientados paralelamente e com centros separados por uma distância r. O conteúdo necessário é a teoria de multipolos elétricos: em particular o termo de interação quadrupolo–quadrupolo, que pode ser obtido a partir da expansão multipolar do potencial e da energia de interação entre tensors de quadrupolo.

Passo 2

Cada quadrupolo linear pode ser descrito por um tensor de quadrupolo
Q_{ij} = \frac{Q}{2}\bigl(3\,e_i e_j - \delta_{ij}\bigr),
onde Q é o momento quadrupolar (no eixo do quadrupolo) e \mathbf e é o versor ao longo do eixo (por exemplo, \mathbf e=\hat z). Note que Q_{zz}=Q e Q_{xx}=Q_{yy}=-Q/2.

Passo 3

A fórmula geral para a energia de interação de dois quadrupolos é
U = \frac{1}{48\pi\varepsilon_0}\;Q^{(1)}_{ij}\,Q^{(2)}_{kl}\;\partial_i\partial_j\partial_k\partial_l\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr),
onde \partial_i denota derivada em relação à componente r_i do vetor de separação \mathbf r.

Passo 4

Utilizando
\partial_i\partial_j\partial_k\partial_l\frac{1}{r} = \frac{1}{r^5}\Bigl(105\,n_i n_j n_k n_l - 15\,(\delta_{ij}n_k n_l + \delta_{ik}n_j n_l + \cdots) + 3\,(\delta_{ij}\delta_{kl} + \cdots)\Bigr),
onde \mathbf n=\mathbf r/r e os “ \cdots” indicam permutações simétricas, obtemos depois de contrair com os dois tensors Q^{(1)} e Q^{(2)} um fator angular.

Passo 5

Escolhendo o eixo dos quadrupolos ao longo de \hat z e a separação ao longo de \hat x, temos \mathbf e\cdot\mathbf n=0. Calcula-se então
Q^{(a)}_{ij}n_i n_j = -\frac{Q^{(a)}}{2},
\mathrm{Tr}\bigl(Q^{(1)}Q^{(2)}\bigr) = \frac{3}{2}\,Q^{(1)}Q^{(2)},
Q^{(1)}_{ij}n_i n_j\,Q^{(2)}_{kl}n_k n_l = \frac{Q^{(1)}Q^{(2)}}{4}.
Substituindo tudo na expressão de U chega-se a
U = -\,\frac{23}{16\pi\varepsilon_0}\;\frac{Q^{(1)}\,Q^{(2)}}{r^5}.

Resposta

U = -\,\frac{23}{16\pi\varepsilon_0}\;\frac{Q^{(1)}\,Q^{(2)}}{r^5}.

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