25.2a Que pressão tem o argônio gasoso quando a taxa de colisão dos átomos sobre uma superficie circular com diâmetro de 1,5 \mathrm{~mm} é de 4,5 \times 10^{20} \mathrm{~s}^{-1}, a 425 K ?

Passo 1

O enunciado pede a pressão de um gás de argônio a T=425\\ \mathrm{K}, sabendo que a taxa de colisões dos átomos contra uma superfície circular de diâmetro 1,5\\ \mathrm{mm} é
z = 4,5 \times 10^{20}\\ \mathrm{s}^{-1}.
O conteúdo envolvido é a teoria cinética dos gases, em particular a relação entre taxa de colisões, densidade numérica n e velocidade média dos átomos \bar v.

Passo 2

Segundo a teoria cinética, a taxa de colisões por unidade de tempo sobre uma área A é
z = J\,A,
onde o fluxo de colisões por área é
J = \frac{1}{4}\,n\,\bar v.
Aqui n é o número de átomos por volume e
\bar v = \sqrt{\frac{8\,k_B\,T}{\pi\,m}}
é a velocidade média (módulo) dos átomos, com k_B constante de Boltzmann e m massa de um átomo de argônio.

Passo 3

Substituindo n = \dfrac{p}{k_B\,T} em z = \tfrac{1}{4}n\,\bar v\,A e isolando p, obtemos
z = \frac{1}{4}\,\frac{p}{k_B\,T}\,\bar v\,A \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{4\,z\,k_B\,T}{\bar v\,A}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente cada parcela:
  1. Área da superfície, com diâmetro d=1{,}5\\ \mathrm{mm}\Rightarrow r=0{,}75\\ \mathrm{mm}=7{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}:
A = \pi\,r^2 = \pi\,(7{,}5\times10^{-4})^2\approx 1{,}77\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Massa de um átomo de argônio, usando massa molar M=39{,}948\\ \mathrm{g/mol} e N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}:
m = \frac{39{,}948\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}} \approx 6{,}64\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
  1. Velocidade média:
\bar v = \sqrt{\frac{8\,k_B\,T}{\pi\,m}} = \sqrt{\frac{8\,(1{,}381\times10^{-23})\,(425)}{\pi\,(6{,}64\times10^{-26})}} \approx 4{,}75\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Substituindo em
p = \frac{4\,z\,k_B\,T}{\bar v\,A}
com z=4{,}5\times10^{20}\\ \mathrm{s}^{-1},
p = \frac{4\,(4{,}5\times10^{20})\,(1{,}381\times10^{-23})\,(425)} {(4{,}75\times10^{2})\,(1{,}77\times10^{-6})} \approx 1{,}3\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

A pressão do argônio é aproximadamente
1,3\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} \quad(\approx 0{,}13\\ \mathrm{atm}).

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