Se R é a relação binária de A=x in R mid 1 <= x <= 6 em B=y in R mid 1 <= y <= 4, definida por:
x R y Leftrightarrow x=2 y
forneça:
c) o domínio e a imagem de R.

Passo 1

Beleza, vamos interpretar direitinho o que o exercício pede. A gente tem uma relação binária
Rsubseteq Atimes B
com
A=xinRmid1<= x<=6, B=yinRmid1<= y<=4
e a regra é
x,R,yLeftrightarrow x=2y
O conteúdo aqui é teoria de relações binárias – em particular, domínio e imagem.
Para resolver, precisamos lembrar:
  • O domínio de é o conjunto de todos os que se relacionam com algum .
  • A imagem (ou contradomínio efetivo) de é o conjunto de todos os que aparecem pra algum .

Passo 2

Encontrar o domínio de 2<= 2y<=8.
  1. Se 2<= x<=8e 1<= x<=6 está no domínio, existe algum 2<= x<=6 com .
  2. Como , temos . Multiplicando tudo por 2 dá
  3. Mas e sabemos que também tem que ficar em , ou seja .
  4. Então precisa satisfazer simultaneamente
  5. A interseção desses intervalos é
Logo o domínio é

Passo 3

Encontrar a imagem de 1<= 2y<=6.
  1. Se tfrac12<= y<=3 está na imagem, existe algum 1<= y<=3 com .
  2. Como , temos . Então
  3. Dividindo tudo por 2 dá
  4. Mas tem que estar em , ou seja .
  5. A interseção de com é
Logo a imagem é

Resposta

Domínio =
Imagem =

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