Se
e
são as relações binárias de
em
definidas por:
forneça:
a) as representaçōes cartesianas de R e de S;
a) as representaçōes cartesianas de R e de S;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos
A = {x\inℤ \mid -2 ≤ x ≤ 5} e B = {y∈ℤ \mid -2 ≤ y ≤ 3},
e duas relações R e S de A em B:
• x R y se 2 divide (x–y) (ou seja, x–y é par)
• x S y se (x–1)² = (y–2)²
A = {x\inℤ \mid -2 ≤ x ≤ 5} e B = {y∈ℤ \mid -2 ≤ y ≤ 3},
e duas relações R e S de A em B:
• x R y se 2 divide (x–y) (ou seja, x–y é par)
• x S y se (x–1)² = (y–2)²
O conteúdo é teoria de relações binárias e representação cartesiana.
Pra resolver, a gente vai:
Pra resolver, a gente vai:
- entender o que significa “2 divide (x–y)” e listar todos os pares (x,y) que satisfazem isso;
- entender a equação (x–1)²=(y–2)² e listar todos os pares dela;
- apresentar R e S como conjuntos de pares.
Passo 2
Teoria de R: “2 divide (x–y)” quer dizer que x–y é um número par. Em outras palavras, x e y têm a mesma paridade (ou os dois são pares, ou os dois são ímpares).
– Elementos pares de A: {-2,0,2,4}
– Elementos ímpares de A: {-1,1,3,5}
– Elementos pares de B: {-2,0,2}
– Elementos ímpares de B: {-1,1,3}
Pra montar R, basta cruzar cada par de A com cada par de B, e cada ímpar de A com cada ímpar de B.
– Elementos pares de A: {-2,0,2,4}
– Elementos ímpares de A: {-1,1,3,5}
– Elementos pares de B: {-2,0,2}
– Elementos ímpares de B: {-1,1,3}
Pra montar R, basta cruzar cada par de A com cada par de B, e cada ímpar de A com cada ímpar de B.
Passo 3
Listando R = {(x,y) ∈ A×B \mid x–y é par}:
Pares de A × Pares de B:
(-2,-2),(-2,0),(-2,2),
(0,-2),(0,0),(0,2),
(2,-2),(2,0),(2,2),
(4,-2),(4,0),(4,2)
(-2,-2),(-2,0),(-2,2),
(0,-2),(0,0),(0,2),
(2,-2),(2,0),(2,2),
(4,-2),(4,0),(4,2)
Ímpares de A × Ímpares de B:
(-1,-1),(-1,1),(-1,3),
(1,-1),(1,1),(1,3),
(3,-1),(3,1),(3,3),
(5,-1),(5,1),(5,3)
(-1,-1),(-1,1),(-1,3),
(1,-1),(1,1),(1,3),
(3,-1),(3,1),(3,3),
(5,-1),(5,1),(5,3)
Então
R = {
(-2,-2),(-2,0),(-2,2),
(0,-2),(0,0),(0,2),
(2,-2),(2,0),(2,2),
(4,-2),(4,0),(4,2),
(-1,-1),(-1,1),(-1,3),
(1,-1),(1,1),(1,3),
(3,-1),(3,1),(3,3),
(5,-1),(5,1),(5,3)
}
R = {
(-2,-2),(-2,0),(-2,2),
(0,-2),(0,0),(0,2),
(2,-2),(2,0),(2,2),
(4,-2),(4,0),(4,2),
(-1,-1),(-1,1),(-1,3),
(1,-1),(1,1),(1,3),
(3,-1),(3,1),(3,3),
(5,-1),(5,1),(5,3)
}
Passo 4
Teoria de S: (x–1)² = (y–2)² implica |x–1| = |y–2|.
Isso dá duas possibilidades para cada x:
y–2 = x–1 ⇒ y = x+1
ou
y–2 = –(x–1) ⇒ y = 3–x.
Aí é só checar se esses y estão em B.
Isso dá duas possibilidades para cada x:
y–2 = x–1 ⇒ y = x+1
ou
y–2 = –(x–1) ⇒ y = 3–x.
Aí é só checar se esses y estão em B.
Passo 5
Calculando S:
Para cada x∈A = {-2,…,5}:
x = -2 ⇒ y = x+1 = -1 ∈ B; y = 3–x = 5 ∉ B ⇒ (-2,-1)
x = -1 ⇒ y = 0 ∈ B; y = 4 ∉ B ⇒ (-1,0)
x = 0 ⇒ y = 1 ∈ B; y = 3 ∈ B ⇒ (0,1),(0,3)
x = 1 ⇒ y = 2 ∈ B; y = 2 ∈ B ⇒ (1,2)
x = 2 ⇒ y = 3 ∈ B; y = 1 ∈ B ⇒ (2,3),(2,1)
x = 3 ⇒ y = 4 ∉ B; y = 0 ∈ B ⇒ (3,0)
x = 4 ⇒ y = 5 ∉ B; y = -1 ∈ B ⇒ (4,-1)
x = 5 ⇒ y = 6 ∉ B; y = -2 ∈ B ⇒ (5,-2)
Para cada x∈A = {-2,…,5}:
x = -2 ⇒ y = x+1 = -1 ∈ B; y = 3–x = 5 ∉ B ⇒ (-2,-1)
x = -1 ⇒ y = 0 ∈ B; y = 4 ∉ B ⇒ (-1,0)
x = 0 ⇒ y = 1 ∈ B; y = 3 ∈ B ⇒ (0,1),(0,3)
x = 1 ⇒ y = 2 ∈ B; y = 2 ∈ B ⇒ (1,2)
x = 2 ⇒ y = 3 ∈ B; y = 1 ∈ B ⇒ (2,3),(2,1)
x = 3 ⇒ y = 4 ∉ B; y = 0 ∈ B ⇒ (3,0)
x = 4 ⇒ y = 5 ∉ B; y = -1 ∈ B ⇒ (4,-1)
x = 5 ⇒ y = 6 ∉ B; y = -2 ∈ B ⇒ (5,-2)
Logo
S = {
(-2,-1),(-1,0),
(0,1),(0,3),
(1,2),
(2,1),(2,3),
(3,0),
(4,-1),
(5,-2)
}
S = {
(-2,-1),(-1,0),
(0,1),(0,3),
(1,2),
(2,1),(2,3),
(3,0),
(4,-1),
(5,-2)
}
Resposta
R = {(-2,-2),(-2,0),(-2,2),(0,-2),(0,0),(0,2),(2,-2),(2,0),(2,2),(4,-2),(4,0),(4,2),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(1,-1),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,1),(3,3),(5,-1),(5,1),(5,3)}
S = {(-2,-1),(-1,0),(0,1),(0,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,0),(4,-1),(5,-2)}