As raízes de 
  podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
b) 
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Considerando os processo iterativos:
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função 
  usando o Método do Ponto Fixo (MPF). Para isso, vamos analisar o processo iterativo dado: 
 . Vamos precisar entender como funciona o MPF e o critério de convergência para verificar se esse processo vai realmente nos levar à raiz da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método do Ponto Fixo. Ele é uma técnica numérica para encontrar soluções de equações na forma 
 . A ideia é começar com um valor inicial 
  e, a partir dele, calcular 
 , depois 
 , e assim por diante, esperando que essa sequência de valores se aproxime de uma solução.
No nosso caso, a função 
  é 
 . Então, nossa fórmula iterativa é:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o critério de convergência do MPF. Para garantir que a sequência 
  vai realmente convergir para uma raiz, a derivada de 
  deve ter módulo menor que 1 no ponto fixo 
 , ou seja:
Então, precisamos encontrar a derivada de 
 :
Vamos verificar esse critério para garantir que o método vai funcionar.
Passo 4
Vamos encontrar a raiz da equação 
 . Primeiro, tentamos resolver essa equação:
Isso mostra que a raiz 
  é um ponto fixo da função 
 .
Passo 5
Agora, vamos verificar o critério de convergência. Sabemos que 
 . Para que 
 , precisamos que:
Portanto, para garantir a convergência, a raiz 
  deve ser menor que 2.
Passo 6
Vamos agora escolher um valor inicial 
  próximo de onde esperamos que a raiz esteja. Sabemos que 
  deve ser positivo porque 
  está definida apenas para 
 .
Vamos escolher 
  e aplicar o processo iterativo:
Vemos que os valores estão se aproximando de 0,1595…
Passo 7
Para garantir que estamos chegando perto da raiz, vamos verificar a função 
  nesse valor:
Isso confirma que estamos encontrando uma raiz da equação.
Resposta
A raiz da equação 
  utilizando o Método do Ponto Fixo com o processo iterativo 
  converge para aproximadamente 
 .