O alongamento x de uma mola é avaliado em função da carga P que atua sobre ela:
x(\mathrm{~mm}) 5 10 15 20 25 30 35 40
P 49 105 172 253 352 473 619 793
Interpolando com polinômios de 3^{\circ} grau, encontre as cargas correspondentes aos seguintes alongamentos:
31 mm

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com alongamentos x (em \mathrm{mm}) e cargas P correspondentes, e pede para interpolar com polinômios de 3^{\circ} grau para encontrar a carga quando x=31\\ \mathrm{mm}.
Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccc} x(\mathrm{mm}) & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40\\hline P & 49 & 105 & 172 & 253 & 352 & 473 & 619 & 793 \end{array}
O que se pede:
  • Encontrar P correspondente a x=31\\ \mathrm{mm} usando interpolação com polinômios de grau 3.

Passo 2

Escolha do método (sem complicar): aqui a tabela tem 8 pontos e o enunciado pede “polinômios de 3^{\circ} grau”. Um polinômio cúbico global não consegue interpolar todos os 8 pontos simultaneamente. A interpretação mais razoável e prática em problemas assim é usar interpolação cúbica por partes — isto é, um spline cúbico (cubic spline) natural — que interpola todos os pontos usando polinômios de grau 3 em cada intervalo adjacente, com continuidade das derivadas até segunda ordem. Vou usar spline cúbico natural porque:
  • ele interpola exatamente todos os pontos dados;
  • em cada intervalo usamos um polinômio de grau 3 (como pedido);
  • é padrão em problemas de interpolação por partes.
Breve explicação do que vou calcular (com fórmulas e significado das variáveis):
  • Denotar os nós por x_0,x_1,\dots,x_7 com x_0=5,\\ x_1=10,\\ \dots,\\ x_7=40 e valores y_i=P(x_i) com y_0=49,\\ y_1=105,\dots,y_7=793.
  • Definir h_i = x_{i+1}-x_i. Aqui todos os h_i são iguais a 5.
  • O spline cúbico natural é construído determinando-se as segundas derivadas M_i = S''(x_i) em cada nó. As M_i satisfazem o sistema tridiagonal (para i=1,\dots,6):
h_{i-1}M_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)M_i + h_i M_{i+1} =6\left(\frac{y_{i+1}-y_i}{h_i}-\frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}\right).
  • Para spline natural impomos M_0=M_7=0.
  • Uma vez conhecidos M_i, no intervalo [x_i,x_{i+1}] o spline é dado por, para x\in[x_i,x_{i+1}],
S(x)=\frac{(x_{i+1}-x)^3 M_i + (x-x_i)^3 M_{i+1}}{6h_i} +\frac{\bigl(y_i-\dfrac{M_i h_i^2}{6}\bigr)(x_{i+1}-x) + \bigl(y_{i+1}-\dfrac{M_{i+1}h_i^2}{6}\bigr)(x-x_i)}{h_i}.
  • Aqui h_i=5, x=31 cai no intervalo [30,35] (ou seja, i=5 com x_5=30 e x_6=35). Então só precisamos dos M_5 e M_6 (mas para isso resolvemos o sistema para todos M_1,\dots,M_6).

Passo 3

Montagem do sistema (cálculos numéricos):
  • Como todos os h_i=5, a equação para i=1,\dots,6 simplifica (dividindo ambos os lados por 5) para
M_{i-1}+2M_i+M_{i+1}=\frac{6}{25}\bigl(y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}\bigr).
  • Calcular as segundas diferenças \Delta^2 y_i = y_{i+1}-2y_i+y_{i-1} para i=1,\dots,6:
\begin{aligned} \Delta^2 y_1 &= 172 - 2\cdot105 + 49 = 11,\\\ \Delta^2 y_2 &= 253 - 2\cdot172 +105 = 14,\\\ \Delta^2 y_3 &= 352 - 2\cdot253 +172 = 18,\\\ \Delta^2 y_4 &= 473 - 2\cdot352 +253 = 22,\\\ \Delta^2 y_5 &= 619 - 2\cdot473 +352 = 25,\\\ \Delta^2 y_6 &= 793 - 2\cdot619 +473 = 28. \end{aligned}
  • Calcular o lado direito b_i=\dfrac{6}{25}\Delta^2 y_i:
\begin{aligned} b_1 &= \frac{6}{25}\cdot 11 = 2,64,\\\ b_2 &= \frac{6}{25}\cdot 14 = 3,36,\\\ b_3 &= \frac{6}{25}\cdot 18 = 4,32,\\\ b_4 &= \frac{6}{25}\cdot 22 = 5,28,\\\ b_5 &= \frac{6}{25}\cdot 25 = 6,00,\\\ b_6 &= \frac{6}{25}\cdot 28 = 6,72. \end{aligned}
  • O sistema para M_1,\dots,M_6 (com M_0=M_7=0) é então:
\begin{cases} 2M_1 + M_2 = 2,64,\\[4pt] M_1 + 2M_2 + M_3 = 3,36,\\[4pt] M_2 + 2M_3 + M_4 = 4,32,\\[4pt] M_3 + 2M_4 + M_5 = 5,28,\\[4pt] M_4 + 2M_5 + M_6 = 6,00,\\[4pt] M_5 + 2M_6 = 6,72. \end{cases}]

Passo 4

Resolução do sistema tridiagonal (eliminação direta, mostrando passos algébricos):
  • Da primeira equação obtemos M_2 = 2,64 - 2M_1.
  • Substituindo na segunda: M_1 + 2(2,64-2M_1)+M_3=3,36 -3M_1 + M_3 = -1,92 M_3 = 3M_1 - 1,92.
  • Substituindo M_2 e M_3 na terceira:
(2,64-2M_1) + 2(3M_1-1,92) + M_4 = 4,32
4M_1 -1,20 + M_4 = 4,32 M_4 = 5,52 - 4M_1.
  • Substituindo M_3 e M_4 na quarta:
(3M_1-1,92) + 2(5,52-4M_1) + M_5 = 5,28
-5M_1 + 9,12 + M_5 = 5,28 M_5 = -3,84 + 5M_1.
  • Substituindo M_4 e M_5 na quinta:
(5,52-4M_1) + 2(-3,84+5M_1) + M_6 = 6,00
6M_1 -2,16 + M_6 = 6,00 M_6 = 8,16 - 6M_1.
  • Substituindo M_5 e M_6 na sexta:
(-3,84+5M_1) + 2(8,16-6M_1) = 6,72
-7M_1 + 12,48 = 6,72 -7M_1 = -5,76 M_1 = \dfrac{5,76}{7} = 0,8228571428571428.
  • Com M_1 encontrado, calculam-se os demais:
\begin{aligned} M_2 &= 2,64 - 2M_1 = 2,64 - 2\cdot0,8228571428571428 = 0,9942857142857143,\\[4pt] M_3 &= 3M_1 - 1,92 = 3\cdot0,8228571428571428 - 1,92 = 0,5485714285714286,\\[4pt] M_4 &= 5,52 - 4M_1 = 5,52 - 4\cdot0,8228571428571428 = 2,2285714285714286,\\[4pt] M_5 &= -3,84 + 5M_1 = -3,84 + 5\cdot0,8228571428571428 = 0,2742857142857144,\\[4pt] M_6 &= 8,16 - 6M_1 = 8,16 - 6\cdot0,8228571428571428 = 3,222857142857143. \end{aligned}
(Verificação rápida: M_5 + 2M_6 = 0,2742857 + 2\cdot3,2228571 = 6,72 confirma consistência.)]

Passo 5

Avaliar o spline em x=31\\ \mathrm{mm} (intervalo [30,35], ou seja i=5):
  • Usar h=5, x_5=30,\\ x_6=35, y_5=473,\\ y_6=619, M_5=0,2742857142857144,\\ M_6=3,222857142857143.
  • Aplicar a fórmula do spline (aqui faço os cálculos passo a passo para poder replicar na prova):
    • x-x_5 = 31-30 = 1.
    • x_6-x = 35-31 = 4.
    • Primeiro termo cúbico:
    \frac{(x_6-x)^3 M_5 + (x-x_5)^3 M_6}{6h} =\frac{4^3\cdot M_5 + 1^3\cdot M_6}{6\cdot 5} =\frac{64\cdot 0,2742857142857144 + 3,222857142857143}{30} \approx \frac{20,777142857142867}{30} = 0,6925714285714289.
    • Termos lineares ajustados:
    A = y_5 - \frac{M_5 h^2}{6} = 473 - \frac{0,2742857142857144\cdot 25}{6} \approx 471,8563095238095,
B = y_6 - \frac{M_6 h^2}{6} = 619 - \frac{3,222857142857143\cdot 25}{6} \approx 605,5714285714286.
  • Parte linear:
\frac{A(x_6-x) + B(x-x_5)}{h} = \frac{471,8563095238095\cdot 4 + 605,5714285714286\cdot 1}{5} \approx \frac{2492,9966666666666}{5} = 498,5993333333333.
  • Soma dos termos:
S(31) \approx 498,5993333333333 + 0,6925714285714289 = 499,2919047619047.

Passo 6

Interpretação final e arredondamento: o valor obtido para a carga em x=31\\ \mathrm{mm} pelo spline cúbico natural é aproximadamente 499,2919 (mesma unidade das cargas da tabela).

Resposta

P(31\\ \mathrm{mm}) \approx 499,2919

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