O alongamento x de uma mola é avaliado em função da carga P que atua sobre ela:
x(\mathrm{~mm})
5
10
15
20
25
30
35
40
P
49
105
172
253
352
473
619
793
Interpolando com polinômios de 3^{\circ} grau, encontre as cargas correspondentes aos seguintes alongamentos:
31 mm
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com alongamentos x (em \mathrm{mm}) e cargas P correspondentes, e pede para interpolar com polinômios de 3^{\circ} grau para encontrar a carga quando x=31\\ \mathrm{mm}.
Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
Encontrar P correspondente a x=31\\ \mathrm{mm} usando interpolação com polinômios de grau 3.
Passo 2
Escolha do método (sem complicar): aqui a tabela tem 8 pontos e o enunciado pede “polinômios de 3^{\circ} grau”. Um polinômio cúbico global não consegue interpolar todos os 8 pontos simultaneamente. A interpretação mais razoável e prática em problemas assim é usar interpolação cúbica por partes — isto é, um spline cúbico (cubic spline) natural — que interpola todos os pontos usando polinômios de grau 3 em cada intervalo adjacente, com continuidade das derivadas até segunda ordem. Vou usar spline cúbico natural porque:
ele interpola exatamente todos os pontos dados;
em cada intervalo usamos um polinômio de grau 3 (como pedido);
é padrão em problemas de interpolação por partes.
Breve explicação do que vou calcular (com fórmulas e significado das variáveis):
Denotar os nós por x_0,x_1,\dots,x_7 com x_0=5,\\ x_1=10,\\ \dots,\\ x_7=40 e valores y_i=P(x_i) com y_0=49,\\ y_1=105,\dots,y_7=793.
Definir h_i = x_{i+1}-x_i. Aqui todos os h_i são iguais a 5.
O spline cúbico natural é construído determinando-se as segundas derivadas M_i = S''(x_i) em cada nó. As M_i satisfazem o sistema tridiagonal (para i=1,\dots,6):
Aqui h_i=5, x=31 cai no intervalo [30,35] (ou seja, i=5 com x_5=30 e x_6=35). Então só precisamos dos M_5 e M_6 (mas para isso resolvemos o sistema para todos M_1,\dots,M_6).
Passo 3
Montagem do sistema (cálculos numéricos):
Como todos os h_i=5, a equação para i=1,\dots,6 simplifica (dividindo ambos os lados por 5) para
Interpretação final e arredondamento: o valor obtido para a carga em x=31\\ \mathrm{mm} pelo spline cúbico natural é aproximadamente 499,2919 (mesma unidade das cargas da tabela).