Encontre a função polinomial p_{n}(x) que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. E as letras (e) e (f) utilizando-se a Forma de Newton.
x -3 0 2
f(x) -4 -1 5

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função polinomial p_{n}(x) que interpole os pontos da tabela, sendo ela da maior ordem possível, e usar a Forma de Newton. Peguei os dados da tabela fornecida:
  • Pontos dados:
    • x=-3 com f(x)=-4.
    • x=0 com f(x)=-1.
    • x=2 com f(x)=5.
O que precisamos obter: um polinômio de grau máximo possível que passe por esses três pontos (ou seja, grau \le 2) e escrevê-lo na Forma de Newton; depois apresentar também o polinômio expandido (forma usual).

Passo 2

O que é a Forma de Newton e como usar aqui (explicação didática):
  • A Forma de Newton constrói o polinômio interpolador a partir de diferenças divididas. Para três pontos x_0,x_1,x_2 a Forma de Newton é
p(x)=f[x_0]+f[x_1,x_0](x-x_0)+f[x_2,x_1,x_0](x-x_0)(x-x_1),
onde f[x_i] são os valores de função nos pontos (ordem zero) e f[x_j,x_i], f[x_k,x_j,x_i] são diferenças divididas de primeira e segunda ordem, respectivamente.
  • As diferenças divididas definem-se por:
    • \displaystyle f[x_i]=f(x_i).
    • \displaystyle f[x_j,x_i]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i}.
    • \displaystyle f[x_k,x_j,x_i]=\frac{f[x_k,x_j]-f[x_j,x_i]}{x_k-x_i}.
  • Aqui vou escolher a ordenação x_0=-3, x_1=0, x_2=2 (padrão: seguir os pontos na ordem dada). Cada símbolo representa:
    • x é a variável onde o polinômio é avaliado;
    • f[x_0], f[x_1,x_0], f[x_2,x_1,x_0] são os coeficientes da forma de Newton (obtidos pelas diferenças divididas).

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de ordem zero (simples):
f[x_0]=f[-3]=-4, \qquad f[x_1]=f[0]=-1, \qquad f[x_2]=f[2]=5.

Passo 4

Calcular diferenças divididas de primeira ordem usando a fórmula
f[x_j,x_i]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i}.
  • Para x_1=0 e x_0=-3:
f[0,-3]=\frac{f[0]-f[-3]}{0-(-3)}=\frac{-1-(-4)}{3}=\frac{3}{3}=1.
  • Para x_2=2 e x_1=0:
f[2,0]=\frac{f[2]-f[0]}{2-0}=\frac{5-(-1)}{2}=\frac{6}{2}=3.

Passo 5

Calcular a diferença dividida de segunda ordem com a fórmula
f[x_2,x_1,x_0]=\frac{f[x_2,x_1]-f[x_1,x_0]}{x_2-x_0}.
Substituindo os valores calculados:
f[2,0,-3]=\frac{f[2,0]-f[0,-3]}{2-(-3)}=\frac{3-1}{5}=\frac{2}{5}.

Passo 6

Escrever o polinômio na Forma de Newton usando os coeficientes encontrados. Com x_0=-3, x_1=0, x_2=2:
p(x)=f[-3]+f[0,-3](x+3)+f[2,0,-3](x+3)(x-0).
Substituindo os valores:
p(x)=-4 + 1\cdot(x+3) + \frac{2}{5}\,(x+3)x.

Passo 7

Expandir e simplificar o polinômio para a forma usual (passo a passo):
  • Primeiro calcule -4 + 1\cdot(x+3):
-4 + (x+3)=x-1.
  • Agora calcule \displaystyle \frac{2}{5}(x+3)x=\frac{2}{5}(x^2+3x)=\frac{2}{5}x^2+\frac{6}{5}x.
  • Somando com x-1:
p(x)=\frac{2}{5}x^2+\frac{6}{5}x + x -1.
  • Reescrevendo x como \frac{5}{5}x e somando os termos em x:
\frac{6}{5}x+\frac{5}{5}x=\frac{11}{5}x.
Logo
p(x)=\frac{2}{5}x^2+\frac{11}{5}x-1.

Passo 8

Verificação rápida (checar que os pontos são interpolados):
  • Para x=-3:
p(-3)=\frac{2}{5}(-3)^2+\frac{11}{5}(-3)-1 =\frac{2}{5}\cdot9-\frac{33}{5}-1 =\frac{18}{5}-\frac{33}{5}-\frac{5}{5}=\frac{18-33-5}{5}=\frac{-20}{5}=-4,
confere com f(-3)=-4.
  • Para x=0:
p(0)=-1,
confere com f(0)=-1.
  • Para x=2:
p(2)=\frac{2}{5}\cdot4+\frac{11}{5}\cdot2-1=\frac{8}{5}+\frac{22}{5}-1=\frac{30}{5}-1=6-1=5,
confere com f(2)=5.

Resposta

p(x)=-4 + 1\,(x+3) + \dfrac{2}{5}(x+3)x
p(x)=\dfrac{2}{5}x^{2}+\dfrac{11}{5}x-1

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