Encontre a função polinomial
que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. E as letras (e) e (f) utilizando-se a Forma de Newton.
x
-3
0
2
-4
-1
5
| x | -3 | 0 | 2 |
|
|
-4 | -1 | 5 |
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função polinomial
que interpole os pontos da tabela, sendo ela da maior ordem possível, e usar a Forma de Newton. Peguei os dados da tabela fornecida:
- Pontos dados:
-
com . -
com . -
com .
-
O que precisamos obter: um polinômio de grau máximo possível que passe por esses três pontos (ou seja, grau
) e escrevê-lo na Forma de Newton; depois apresentar também o polinômio expandido (forma usual).
Passo 2
O que é a Forma de Newton e como usar aqui (explicação didática):
- A Forma de Newton constrói o polinômio interpolador a partir de diferenças divididas. Para três pontos
a Forma de Newton é
onde
são os valores de função nos pontos (ordem zero) e
,
são diferenças divididas de primeira e segunda ordem, respectivamente.
- As diferenças divididas definem-se por:
-
. -
. -
.
-
- Aqui vou escolher a ordenação
, , (padrão: seguir os pontos na ordem dada). Cada símbolo representa: -
é a variável onde o polinômio é avaliado; -
são os coeficientes da forma de Newton (obtidos pelas diferenças divididas).
-
Passo 3
Calcular as diferenças divididas de ordem zero (simples):
Passo 4
Calcular diferenças divididas de primeira ordem usando a fórmula
- Para
e :
- Para
e :
Passo 5
Calcular a diferença dividida de segunda ordem com a fórmula
Substituindo os valores calculados:
Passo 6
Escrever o polinômio na Forma de Newton usando os coeficientes encontrados. Com
,
,
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Expandir e simplificar o polinômio para a forma usual (passo a passo):
- Primeiro calcule
:
- Agora calcule
- Somando com
:
- Reescrevendo
como e somando os termos em :
Logo
Passo 8
Verificação rápida (checar que os pontos são interpolados):
- Para
:
confere com
.
- Para
:
confere com
.
- Para
:
confere com
.