Em qual base \boldsymbol{b} o número (100)_{\boldsymbol{b}} é o dobro de (40)_{\boldsymbol{b}} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: encontrar a base \(b) em que o número \( (100)_b) é o dobro de \( (40)_b).
  • Dados do enunciado (pego diretamente no enunciado): os dois numerais escritos na mesma base \(b) são \( (100)_b) e \( (40)_b).
  • Observações necessárias para poder resolver: os dígitos usados são \(1) e \(4). Para que esses dígitos existam numa base \(b), a base deve satisfazer \(b>4) e tipicamente \(b) é inteiro com \(b\ge2). A resolução só começa a partir do próximo passo.

Passo 2

Entendendo o que representa um número escrito em base \(b).
  • Regra geral (posicional): um número com algarismos d_n d_{n-1}\ldots d_1 d_0 em base \(b) vale
d_n b^n + d_{n-1} b^{n-1} + \cdots + d_1 b + d_0.
Aqui cada d_k é um dígito inteiro com 0\le d_k < b.
  • Exemplos rápidos para fixar a ideia:
    • \( (100)_{10} = 1\cdot10^2 + 0\cdot10 + 0 = 100).
    • \( (100)_2 = 1\cdot2^2 + 0\cdot2 + 0 = 4).
      Esses exemplos mostram como o mesmo escrito “ (100)” representa valores diferentes dependendo da base.

Passo 3

Converter os dois numerais do enunciado para expressão algébrica em função de \(b).
  • Para \( (100)_b) aplicando a regra posicional:
(100)_b = 1\cdot b^2 + 0\cdot b + 0 = b^2.
  • Para \( (40)_b):
(40)_b = 4\cdot b + 0 = 4b.
Estas são expressões simples e exatas em termos de \(b).

Passo 4

Traduzir a condição do enunciado em equação.
  • O enunciado diz que \( (100)_b) é o dobro de \( (40)_b). Em símbolos:
(100)_b = 2\cdot (40)_b.
  • Substituindo as expressões do passo anterior:
b^2 = 2\cdot(4b).
  • Simplificando a direita:
b^2 = 8b.

Passo 5

Resolver a equação obtida.
  • Subtrair 8b dos dois lados:
b^2 - 8b = 0.
  • Fatorando:
b(b-8)=0.
  • As soluções algébricas dessa equação são \(b=0) e \(b=8).

Passo 6

Aplicar as restrições da noção de base e verificar qual solução é admissível.
  • Relembre: para ser uma base válida para os dígitos usados, \(b) deve ser maior que o maior dígito presente. O maior dígito é \(4), então é necessário \(b>4). Além disso, bases são tradicionalmente inteiras e pelo menos \(2).
  • Das soluções \(b=0) e \(b=8), apenas \(b=8) satisfaz \(b>4) e é uma base válida.
  • Verificação rápida (checagem): em base \(8),
    • \( (100)_8 = 1\cdot8^2 = 64),
    • \( (40)_8 = 4\cdot8 = 32),
      e realmente \(64 = 2\cdot32). Então a solução é consistente.

Resposta

b=8

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