Em qual base
o número
é o dobro de
?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: encontrar a base ) em que o número ) é o dobro de ).
- Dados do enunciado (pego diretamente no enunciado): os dois numerais escritos na mesma base ) são ) e ).
- Observações necessárias para poder resolver: os dígitos usados são ) e ). Para que esses dígitos existam numa base ), a base deve satisfazer ) e tipicamente ) é inteiro com ). A resolução só começa a partir do próximo passo.
Passo 2
Entendendo o que representa um número escrito em base
).
- Regra geral (posicional): um número com algarismos
em base ) vale
Aqui cada
é um dígito inteiro com
.
- Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- ).
-
).
Esses exemplos mostram como o mesmo escrito “” representa valores diferentes dependendo da base.
Passo 3
Converter os dois numerais do enunciado para expressão algébrica em função de
).
- Para ) aplicando a regra posicional:
- Para ):
Estas são expressões simples e exatas em termos de
).
Passo 4
Traduzir a condição do enunciado em equação.
- O enunciado diz que ) é o dobro de ). Em símbolos:
- Substituindo as expressões do passo anterior:
- Simplificando a direita:
Passo 5
Resolver a equação obtida.
- Subtrair
dos dois lados:
- Fatorando:
- As soluções algébricas dessa equação são ) e ).
Passo 6
Aplicar as restrições da noção de base e verificar qual solução é admissível.
- Relembre: para ser uma base válida para os dígitos usados, ) deve ser maior que o maior dígito presente. O maior dígito é ), então é necessário ). Além disso, bases são tradicionalmente inteiras e pelo menos ).
- Das soluções ) e ), apenas ) satisfaz ) e é uma base válida.
- Verificação rápida (checagem): em base
),
- ),
-
),
e realmente ). Então a solução é consistente.