Em um reator químico, a concentração de um reagente foi medida em diferentes pontos ao longo do tempo. Os dados obtidos foram:
Tempo (min) 0 5 10 15 20 25 30
Concentração (mol/L) 1,50 1,18 0,96 0,78 0,63 0,51 0,42
Suponha que a concentração seja dada pela equação |c|c|c|c|c|c|c|c| hline Tempo (min) & 0 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 hline Concentração (mol/L) & 1,50 & 1,18 & 0,96 & 0,78 & 0,63 & 0,51 & 0,42 hline , onde C(t)=alpha1t+alpha2 é a concentração no instante de tempo C(t), t é o tempo em minutos, t e alpha1 são constantes. Determine os valores de alpha2 e alpha1 que melhor se ajustam aos dados experimentais, utilizando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a concentração de um reagente ao longo do tempo é medida e se supõe que
C(t)=alpha1t+alpha2,
A gente tem sete pares e quer achar e que melhor “encaixam” esses pontos segundo o método dos mínimos quadrados.
Conteúdo: regressão não‐linear que a gente lineariza. Vamos usar a ideia de tomar recíproco pra transformar em reta e daí aplicar mínimos quadrados (regressão linear). Precisamos computar as somas , , , , etc.

Passo 2

Primeiro, vamos linearizar 1C(t) = t+alpha2alpha1 = underbrace1alpha1m,t ;+;underbracealpha2alpha1b . Se invertermos:
x = t, y = 1C(t),
Ou seja, definindo
y = m,x + b,
ficamos com a reta
m = nsum x,y - sum x;sum y,nsum x^2 - (sum x)^2,, b = sum y - msum xn
onde e . A teoria dos mínimos quadrados para ajustar uma reta diz:
Depois, basta voltar em e .

Passo 3

Vamos organizar as somas com os dados:
t (min): 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30
y = [0,6667,;0,8475,;1,0417,;1,2821,;1,5873,;1,9608,;2,3810], (mol/L): 1,50; 1,18; 0,96; 0,78; 0,63; 0,51; 0,42
  1. Calcular n=7, sum xi = 0+5+cdots+30=105, sum xi^2 = 2275, :
sum yi approx 9,7671, sum xi,yi approx 186,0806
  1. Somatórios:

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas da reta:
m = 7,(186,0806) - 105,(9,7671)7,(2275) - 105^2 approx 1302,5642 - 1025,545515925 - 11025 = 277,01874900 approx 0,05657,
b = 9,7671 - 0,05657cdot1057 = 9,7671 - 5,9437 approx 0,54619

Passo 5

Reescrevendo em alpha1 = 1m approx 10,05657 approx 17,67, alpha2 = bm approx 0,546190,05657 approx 9,66 :

Resposta

, .

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