O em um reator varia senoidalmente no decorrer de um dia. Utilize regressão por mínimos quadrados para ajustar uma curva senoidal ao conjunto de dados,
0
2
4
5
7
9
12
15
20
22
24
7,6
7,2
7
6,5
7,5
7,2
8,9
9,1
8,9
7,9
7
Use o ajuste obtido para determinar a média, a amplitude e o instante de pH máximo. Observe que o período é de .
Passo 1
O enunciado pede para ajustar uma curva senoidal ao pH medido ao longo de 24 h (dados de t e pH) usando regressão por mínimos quadrados. Além disso, precisamos usar esse ajuste para achar a média (valor médio do pH), a amplitude (meia-diferença pico–vale) e o instante em que o pH atinge o máximo.
Conteúdo: regressão linear em funções base 1, cos(ωt) e sin(ωt), com ω = 2π/24. Vamos montar o modelo
e aplicar mínimos quadrados para determinar A, B e C.
Passo 2
Teoria do mínimos quadrados para modelo linear em parâmetros: definimos as variáveis
ϕ₀(t)=1, ϕ₁(t)=cos(ωt), ϕ₂(t)=sin(ωt)
e escolhemos A, B, C para minimizar
Isso leva às equações normais (uma pra cada parâmetro):
Passo 3
Calculemos os somatórios a partir dos dados (n=11 pontos, ω=π/12 rad/h):
• ,
• , ,
• , , ,
• , .
Substituindo nas normais, obtemos um sistema 3×3 em A, B, C.
Passo 4
Resolvendo o sistema (por eliminação ou matriz inversa), achamos numericamente: