O p H em um reator varia senoidalmente no decorrer de um dia. Utilize regressão por mínimos quadrados para ajustar uma curva senoidal ao conjunto de dados,
t(h) 0 2 4 5 7 9 12 15 20 22 24
p H 7,6 7,2 7 6,5 7,5 7,2 8,9 9,1 8,9 7,9 7
Use o ajuste obtido para determinar a média, a amplitude e o instante de pH máximo. Observe que o período é de 24 h.

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma curva senoidal ao pH medido ao longo de 24 h (dados de t e pH) usando regressão por mínimos quadrados. Além disso, precisamos usar esse ajuste para achar a média (valor médio do pH), a amplitude (meia-diferença pico–vale) e o instante em que o pH atinge o máximo.
Conteúdo: regressão linear em funções base 1, cos(ωt) e sin(ωt), com ω = 2π/24. Vamos montar o modelo
pH(t) = A + Bcos(omega t) + Csin(omega t),, omega=2pi24
e aplicar mínimos quadrados para determinar A, B e C.

Passo 2

Teoria do mínimos quadrados para modelo linear em parâmetros: definimos as variáveis
ϕ₀(t)=1, ϕ₁(t)=cos(ωt), ϕ₂(t)=sin(ωt)
e escolhemos A, B, C para minimizar
sumi=1^nl[yi - (A + Bcos(omega ti)+Csin(omega ti))r]^2
Isso leva às equações normais (uma pra cada parâmetro):
nA + Bsum cos(omega ti) + Csum sin(omega ti) = sum yi, Asum cos(omega ti) + Bsum cos^2(omega ti) + Csum cos(omega ti)sin(omega ti) = sum yicos(omega ti), Asum sin(omega ti) + Bsum cos(omega ti)sin(omega ti) + Csum sin^2(omega ti) = sum yisin(omega ti)

Passo 3

Calculemos os somatórios a partir dos dados (n=11 pontos, ω=π/12 rad/h):
,
, ,
, , ,
, .
Substituindo nas normais, obtemos um sistema 3×3 em A, B, C.

Passo 4

Resolvendo o sistema (por eliminação ou matriz inversa), achamos numericamente:
Aapprox8.03, Bapprox-0.600, Capprox-1.094
Portanto o ajuste final é
pH(t)=8.03 ;-;0.600cos!l(tfracpi12tr);-;1.094sin!l(tfracpi12tr)

Passo 5

  1. Média do pH: é o termo A do modelo.
    D=raizB^2 + C^2 =raiz(-0.600)^2 +(-1.094)^2 approx1.25 é
  2. Amplitude D: pH(t)=A + Dcos!l(omega t - varphir), varphi=atan2(C,B)approx4.224 rm rad
  3. Instante de pH máximo: escrevemosO máximo ocorre quando tmax=varphiomega =4.224pi/12 approx16.1 rm h , ou seja

Resposta

Média = 8,03; Amplitude ≈ 1,25; Instante do pH máximo ≈ 16,1 h.

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