Reduza o número à forma polar:
z=\frac{-3+3 i}{1+i \sqrt{3}}.

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo
z=\frac{-3+3i}{1+i\sqrt{3}}
e pede para reduzi-lo à forma polar. Ou seja, encontrar o módulo r\ge0 e o argumento \theta tais que
z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)
(ou equivalentemente z=re^{i\theta}). Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo prático: passar para a forma retangular x+iy (p/ facilitar cálculo de r e \theta). Para isso vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1+i\sqrt{3} é 1-i\sqrt{3}. Então
z=\frac{-3+3i}{1+i\sqrt{3}}\cdot\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}=\frac{(-3+3i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}.
Explico rápido: multiplicar pelo conjugado transforma o denominador em número real porque (a+ib)(a-ib)=a^2+b^2.

Passo 3

Calculemos o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
(-3+3i)(1-i\sqrt{3}) = -3\cdot1 + (-3)\cdot(-i\sqrt{3}) + 3i\cdot1 + 3i\cdot(-i\sqrt{3}).
Calculando termo a termo:
-3 + 3i\sqrt{3} + 3i + 3\sqrt{3}.
Agrupando parte real e imaginária:
\text{real: } -3 + 3\sqrt{3} = 3(\sqrt{3}-1), \qquad \text{imaginária: } 3i + 3i\sqrt{3} = 3(1+\sqrt{3})i.á
Denominador:
(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3}) = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3=4.
Portanto
z=\frac{3(\sqrt{3}-1)+3(1+\sqrt{3})i}{4}=\frac{3}{4}\big((\sqrt{3}-1)+(1+\sqrt{3})i\big).
Logo a forma retangular é
x=\frac{3}{4}(\sqrt{3}-1),\qquad y=\frac{3}{4}(1+\sqrt{3}).

Passo 4

Agora calculamos o módulo r. A fórmula do módulo é
r=\sqrt{x^2+y^2}.
Substituindo x e y:
r=\sqrt{\left(\frac{3}{4}(\sqrt{3}-1)\right)^2+\left(\frac{3}{4}(1+\sqrt{3})\right)^2} =\frac{3}{4}\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+(1+\sqrt{3})^2}.
Calculemos o que está dentro da raiz:
(\sqrt{3}-1)^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3},
(1+\sqrt{3})^2=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}.
Somando:
(4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})=8.
Portanto
r=\frac{3}{4}\sqrt{8}=\frac{3}{4}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Pequena motivação: foi importante fatorar \frac{3}{4} para simplificar a soma dos quadrados; os termos com \sqrt{3} se cancelaram.

Passo 5

Agora o argumento \theta. Para um número no primeiro quadrante (verificaremos sinal de x e y), temos
\tan\theta=\frac{y}{x}.
Observando x=\dfrac{3}{4}(\sqrt{3}-1) e y=\dfrac{3}{4}(1+\sqrt{3}), ambos positivos, então \theta está no primeiro quadrante (entre 0 e \tfrac{\pi}{2}). O fator \dfrac{3}{4} cancela na razão:
\frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}.
Simplificando essa fração multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}+1:
\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}.
Então
\tan\theta=2+\sqrt{3}.
Reconhecemos esse valor porque
\tan\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\tan\frac{\pi}{4}+\tan\frac{\pi}{6}}{1-\tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{6}} =\frac{1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-1\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}.
Como \tan\theta=2+\sqrt{3} e \theta está no primeiro quadrante, concluímos
\theta=\frac{5\pi}{12}.

Passo 6

Juntando módulo e argumento, a forma polar é
z=\frac{3\sqrt{2}}{2}\big(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\big),
que também pode ser escrita usando a forma exponencial de Euler como
z=\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{5\pi}{12}}.
Boa! Fizemos tudo passo a passo: racionalizar, obter x e y, calcular r e \theta, e escrever a forma polar. Segura essa solução na prova — se aparecer algo parecido, é só repetir os mesmos passos.

Resposta

\displaystyle z=\frac{3\sqrt{2}}{2}\big(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\big)=\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{5\pi}{12}}

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