Reduza o número à forma polar:
.
Passo 1
O enunciado nos dá o número complexo
e pede para reduzi-lo à forma polar. Ou seja, encontrar o módulo
e o argumento
tais que
(ou equivalentemente
). Não há mais dados no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo prático: passar para a forma retangular
(p/ facilitar cálculo de
e
). Para isso vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Então
Explico rápido: multiplicar pelo conjugado transforma o denominador em número real porque
.
Passo 3
Calculemos o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Calculando termo a termo:
Agrupando parte real e imaginária:
Denominador:
Portanto
Logo a forma retangular é
Passo 4
Agora calculamos o módulo
. A fórmula do módulo é
Substituindo
e
:
Calculemos o que está dentro da raiz:
Somando:
Portanto
Pequena motivação: foi importante fatorar
para simplificar a soma dos quadrados; os termos com
se cancelaram.
Passo 5
Agora o argumento
. Para um número no primeiro quadrante (verificaremos sinal de
e
), temos
Observando
e
, ambos positivos, então
está no primeiro quadrante (entre
e
). O fator
cancela na razão:
Simplificando essa fração multiplicando numerador e denominador por
:
Então
Reconhecemos esse valor porque
Como
e
está no primeiro quadrante, concluímos
Passo 6
Juntando módulo e argumento, a forma polar é
que também pode ser escrita usando a forma exponencial de Euler como
Boa! Fizemos tudo passo a passo: racionalizar, obter
e
, calcular
e
, e escrever a forma polar. Segura essa solução na prova — se aparecer algo parecido, é só repetir os mesmos passos.