Reduza o número à forma polar:
z=4-i.

Passo 1

O enunciado pede para reduzir o número complexo z=4-i à forma polar.
Informações dadas:
  • Parte real: \operatorname{Re}(z)=4.
  • Parte imaginária: \operatorname{Im}(z)=-1.
    O objetivo é escrever z como r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) (forma trigonométrica) ou como re^{i\theta} (forma exponencial), encontrando r e \theta.

Passo 2

Cálculo do módulo r.
Lembrete (fórmula): o módulo de um complexo z=x+iy é
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z). Aqui x=4 e y=-1. Portanto
r=\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.
Explicação curta: o módulo é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano complexo, por isso usamos o teorema de Pitágoras.

Passo 3

Cálculo do argumento \theta.
Lembrete (fórmula): quando x\neq0, a tangente do argumento satisfaz
\tan\theta=\frac{y}{x}.
Aqui
\tan\theta=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}.
Então uma solução é \theta=\arctan\!\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr). Note que \arctan\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)=-\arctan\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr).

Passo 4

Ajuste pelo quadrante (passo crucial).
O ponto correspondente a z é (4,-1): x>0 e y<0. Isso coloca z no quarto quadrante, onde o argumento principal \theta está entre -\tfrac{\pi}{2} e 0. Portanto o valor correto para o argumento principal é
\theta=-\arctan\!\left(\tfrac{1}{4}\right).
Também é possível usar a representação equivalente positiva adicionando 2\pi:
\theta=2\pi-\arctan\!\left(\tfrac{1}{4}\right).

Passo 5

Montagem da forma polar (exata e exponencial).
Usando r=\sqrt{17} e \theta=-\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr), temos as formas desejadas:
z=\sqrt{17}\Bigl(\cos\!\bigl(-\arctan\tfrac{1}{4}\bigr)+i\sin\!\bigl(-\arctan\tfrac{1}{4}\bigr)\Bigr)
e, na forma exponencial,
z=\sqrt{17}\,e^{-\,i\arctan(1/4)}.

Passo 6

Verificação numérica rápida (para ganhar confiança).
Calcule \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)\approx0,24498 rad (aprox. 14,04^\circ). Então \theta\approx-0,24498 rad e \sqrt{17}\approx4,1231. Usando identidades \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta, obtém-se numericamente:
\sqrt{17}\cos(-0,24498)\approx4,\qquad \sqrt{17}\sin(-0,24498)\approx-1,
recuperando z=4-i, o que confirma que a forma polar está correta. Força aí — já matou essa parte!

Resposta

\displaystyle z=\sqrt{17}\Bigl(\cos\!\bigl(-\arctan\tfrac{1}{4}\bigr)+i\sin\!\bigl(-\arctan\tfrac{1}{4}\bigr)\Bigr)
\displaystyle z=\sqrt{17}\,e^{-\,i\arctan(1/4)}

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