Reduza o número à forma polar:
.
Passo 1
O enunciado pede para reduzir o número complexo
à forma polar.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
O objetivo é escrevercomo (forma trigonométrica) ou como (forma exponencial), encontrando e .
Passo 2
Cálculo do módulo
.
Lembrete (fórmula): o módulo de um complexo é
Lembrete (fórmula): o módulo de um complexo
onde
e
. Aqui
e
. Portanto
Explicação curta: o módulo é a distância do ponto
até a origem no plano complexo, por isso usamos o teorema de Pitágoras.
Passo 3
Cálculo do argumento
.
Lembrete (fórmula): quando , a tangente do argumento satisfaz
Lembrete (fórmula): quando
Aqui
Então uma solução é
. Note que
.
Passo 4
Ajuste pelo quadrante (passo crucial).
O ponto correspondente a é
:
e
. Isso coloca
no quarto quadrante, onde o argumento principal
está entre
e
. Portanto o valor correto para o argumento principal é
O ponto correspondente a
Também é possível usar a representação equivalente positiva adicionando
:
Passo 5
Montagem da forma polar (exata e exponencial).
Usando e
, temos as formas desejadas:
Usando
e, na forma exponencial,
Passo 6
Verificação numérica rápida (para ganhar confiança).
Calcule rad (aprox.
). Então
rad e
. Usando identidades
e
, obtém-se numericamente:
Calcule
recuperando
, o que confirma que a forma polar está correta. Força aí — já matou essa parte!