Reduza o número à forma polar: z=\frac{1}{-1-i \sqrt{3}}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: \
Pedido: reduzir o número complexo \displaystyle z=\frac{1}{-1-i\sqrt{3}} à forma polar, isto é, escrever z como \;r(\cos\theta+i\sin\theta)\; ou \;r e^{i\theta}.
Informação dada: o número complexo está numa forma fracionária com denominador complexo -1-i\sqrt{3}.
Nada mais é fornecido — vamos transformar para a forma retangular (parte real + i·parte imaginária), depois calcular módulo r e argumento \theta.
Passo 2
Transformar para a forma retangular por racionalização (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador). O conjugado de -1-i\sqrt{3} é -1+i\sqrt{3}. Portanto:
Calcular o argumento \theta. Uma forma prática é usar a razão \tan\theta=\dfrac{\Im z}{\Re z}, mas sempre observando em qual quadrante o ponto (\Re z,\Im z) está. Aqui
A equação \tan\theta=-\sqrt{3} tem soluções como \theta=-\tfrac{\pi}{3} (ou equivalentes), porém as coordenadas mostram \Re z<0 e \Im z>0, ou seja, o ponto está no 2.º quadrante. No 2.º quadrante o ângulo correspondente cuja tangente tem valor \sqrt{3} é \theta=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}.
Outra verificação com razões trigonométricas: se dividirmos pelo módulo,
Pequena checagem: expandindo a forma trigonométrica dá \dfrac{1}{2}\big(-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)=-\tfrac{1}{4}+i\tfrac{\sqrt{3}}{4}, que coincide com a forma retangular encontrada antes.