Reduza o número à forma polar:
z=\frac{1}{-1-i \sqrt{3}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: \
  • Pedido: reduzir o número complexo \displaystyle z=\frac{1}{-1-i\sqrt{3}} à forma polar, isto é, escrever z como \;r(\cos\theta+i\sin\theta)\; ou \;r e^{i\theta}.
  • Informação dada: o número complexo está numa forma fracionária com denominador complexo -1-i\sqrt{3}.
    Nada mais é fornecido — vamos transformar para a forma retangular (parte real + i·parte imaginária), depois calcular módulo r e argumento \theta.

Passo 2

Transformar para a forma retangular por racionalização (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador). O conjugado de -1-i\sqrt{3} é -1+i\sqrt{3}. Portanto:
z=\frac{1}{-1-i\sqrt{3}}\cdot\frac{-1+i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}} =\frac{-1+i\sqrt{3}}{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}.
Aqui usei a identidade (a+ib)(a-ib)=a^2+b^2 para o denominador.

Passo 3

Calcular o denominador e simplificar:
(-1)^2+(\sqrt{3})^2 = 1+3=4.
Logo
z=\frac{-1+i\sqrt{3}}{4}=-\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}.
Agora temos a forma retangular com parte real \displaystyle -\frac{1}{4} e parte imaginária \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 4

Calcular o módulo r=|z|. A fórmula do módulo de x+iy é \sqrt{x^2+y^2}, onde x é a parte real e y a parte imaginária. Aqui:
r=\sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} =\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{3}{16}} =\sqrt{\frac{4}{16}} =\sqrt{\frac{1}{4}} =\frac{1}{2}.
Portanto r=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular o argumento \theta. Uma forma prática é usar a razão \tan\theta=\dfrac{\Im z}{\Re z}, mas sempre observando em qual quadrante o ponto (\Re z,\Im z) está. Aqui
\frac{\Im z}{\Re z}=\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{4}}{-\tfrac{1}{4}}=-\sqrt{3}.
A equação \tan\theta=-\sqrt{3} tem soluções como \theta=-\tfrac{\pi}{3} (ou equivalentes), porém as coordenadas mostram \Re z<0 e \Im z>0, ou seja, o ponto está no 2.º quadrante. No 2.º quadrante o ângulo correspondente cuja tangente tem valor \sqrt{3} é \theta=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}.
Outra verificação com razões trigonométricas: se dividirmos pelo módulo,
\frac{z}{r}=\frac{-\tfrac{1}{4}+i\tfrac{\sqrt{3}}{4}}{\tfrac{1}{2}} =-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2},
e sabemos que \cos\!\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2} e \sin\!\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, confirmando \theta=\tfrac{2\pi}{3}.

Passo 6

Escrever z na forma polar. Com r=\dfrac{1}{2} e \theta=\dfrac{2\pi}{3}, as formas são:
z=\frac{1}{2}\!\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right) \qquad\text{ou}\qquad z=\frac{1}{2}e^{i\frac{2\pi}{3}}.
Pequena checagem: expandindo a forma trigonométrica dá \dfrac{1}{2}\big(-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)=-\tfrac{1}{4}+i\tfrac{\sqrt{3}}{4}, que coincide com a forma retangular encontrada antes.

Resposta

\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\n
\displaystyle z=\frac{1}{2}e^{i\frac{2\pi}{3}}

Exercícios relacionados