Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Química
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Nagel Alves Costa
  1. Ajustar os pontos abaixo ao modelo y=a b^{x},
i 1 2 3 4 5
x 0,1 1,5 3,3 4,5 5,0
y 5,9 8,8 12,0 19,8 21,5
Determinar manualmente os coeficientes ( a e b ). Faça análise estatística da regressão.

Passo 1

O enunciado pede o ajuste dos pontos (x_i,y_i) ao modelo
y = a\,b^{x}\,,
ou seja, um crescimento exponencial. Para linearizar, tomamos logaritmo natural em ambos os lados, obtendo
\ln y = \ln a + x\;\ln b\,.
Assim basta fazer uma regressão linear de \ln y em função de x pelo método dos mínimos quadrados. Precisamos calcular \sum x_i, \sum \ln y_i, \sum x_i^2 e \sum x_i\,\ln y_i.

Passo 2

Calculamos \ln y_i e as somas: \quad x_i: 0{,}1,\;1{,}5,\;3{,}3,\;4{,}5,\;5{,}0 \quad y_i: 5{,}9,\;8{,}8,\;12{,}0,\;19{,}8,\;21{,}5 \quad \ln y_i:
1{,}775,\;2{,}175,\;2{,}485,\;2{,}986,\;3{,}069
Agora as somas (arredondadas):
\sum x_i = 14{,}4,\quad \sum \ln y_i = 12{,}490,\quad \sum x_i^2 = 58{,}40,\quad \sum x_i\,\ln y_i = 40{,}4225.

Passo 3

Coeficiente angular m e linear b_0 da regressão de \ln y em x:
m = \frac{n\sum x_i\ln y_i - (\sum x_i)(\sum \ln y_i)} {\,n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\,} = \frac{5\cdot40{,}4225 - 14{,}4\cdot12{,}490}{5\cdot58{,}40 - (14{,}4)^2} \approx0{,}2629,
b_0 = \frac{\sum \ln y_i - m\,\sum x_i}{n} = \frac{12{,}490 - 0{,}2629\cdot14{,}4}{5} \approx1{,}7408.

Passo 4

Voltando aos parâmetros originais:
a = e^{\,b_0}\approx e^{1{,}7408}\approx5{,}703, \quad b = e^{\,m}\approx e^{0{,}2629}\approx1{,}3007.
Portanto o modelo ajustado é
y \approx 5{,}703\,(1{,}3007)^{x}.

Passo 5

Análise estatística do ajuste (na escala \ln y):
  1. Coeficiente de correlação
r = \frac{n\sum x_i\ln y_i - \sum x_i\sum \ln y_i} {\sqrt{\bigl(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr)\,\bigl(n\sum (\ln y_i)^2 - (\sum \ln y_i)^2\bigr)}} \approx0{,}9914,
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R^2 = r^2\approx0{,}983.
  1. Erro padrão da estimativa (resíduos em \ln y):
S_{yy} = \sum (\ln y_i - \overline{\ln y})^2\approx1{,}191, \quad \text{SSE} = (1 - r^2)\,S_{yy}\approx0{,}0204,
s = \sqrt{\frac{\text{SSE}}{n-2}} \approx\sqrt{\frac{0{,}0204}{3}}\approx0{,}0825.
O R^2 próximo de 0,98 indica excelente ajuste e o erro padrão de 0{,}083 em \ln y mostra que os resíduos são pequenos.

Resposta

a \approx 5,703
b \approx 1,3007
Coeficiente de determinação: R^2\approx0,983
Erro padrão dos resíduos (escala \ln y): s\approx0,083

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