6 Calcule \pi da relação \frac{\pi}{4}=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}} utilizando a Regra de Simpson com 6 subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \pi a partir da relação
\frac{\pi}{4}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}
usando a Regra de Simpson composta com 6 subintervalos.
Informações dadas e pedidas:
  • Intervalo de integração: [0,1].
  • Função integranda: f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • Número de subintervalos: n=6 (par, adequado para Simpson).
  • Objetivo: aproximar \dfrac{\pi}{4} pelo método de Simpson e, a partir disso, obter uma aproximação para \pi.

Passo 2

Explicação do método (mini-aula): Regra de Simpson composta.
Se dividimos [a,b] em n subintervalos iguais com n par e passo h=\dfrac{b-a}{n}, a aproximação de \int_a^b f(x)\,dx pela Regra de Simpson composta é
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\sum_{k=1,\,k\\ \text{ímpar}}^{n-1} f(x_k) + 2\sum_{k=2,\,k\\ \text{par}}^{n-2} f(x_k) + f(x_n)\Big),í
onde x_k=a+k h.
Aqui h é o tamanho de cada subintervalo; as somas com pesos 4 e 2 vêm da combinação dos polinômios quadráticos que interpolam f em cada par de subintervalos. Não se preocupe com a demonstração agora — na prova é suficiente aplicar a fórmula corretamente.

Passo 3

Calcular h e os pontos da partição.
h=\frac{1-0}{6}=\frac{1}{6}.
Os pontos são x_k=0+\dfrac{k}{6}, ou seja:
x_0=0,\; x_1=\tfrac{1}{6},\; x_2=\tfrac{1}{3},\; x_3=\tfrac{1}{2},\; x_4=\tfrac{2}{3},\; x_5=\tfrac{5}{6},\; x_6=1.

Passo 4

Avaliar a função f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} em cada nó (faça isso na prova passo a passo como eu faço aqui):
f(x_0)=f(0)=\frac{1}{1+0^{2}}=1,
f(x_1)=f\!\left(\tfrac{1}{6}\right)=\frac{1}{1+(\tfrac{1}{6})^{2}}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{36}}=\frac{1}{\tfrac{37}{36}}=\frac{36}{37},
f(x_2)=f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\frac{1}{1+(\tfrac{1}{3})^{2}}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{9}}=\frac{1}{\tfrac{10}{9}}=\frac{9}{10},
f(x_3)=f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{1+(\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{\tfrac{5}{4}}=\frac{4}{5},
f(x_4)=f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\frac{1}{1+(\tfrac{2}{3})^{2}}=\frac{1}{1+\tfrac{4}{9}}=\frac{1}{\tfrac{13}{9}}=\frac{9}{13},
f(x_5)=f\!\left(\tfrac{5}{6}\right)=\frac{1}{1+(\tfrac{5}{6})^{2}}=\frac{1}{1+\tfrac{25}{36}}=\frac{1}{\tfrac{61}{36}}=\frac{36}{61},
f(x_6)=f(1)=\frac{1}{1+1^{2}}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Simpson com h=\tfrac{1}{6}. Escrevo a fórmula para este caso:
\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{2}} \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\big(f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)\big)+2\big(f(x_2)+f(x_4)\big)+f(x_6)\Big).
Substituindo os valores calculados:
\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}} \approx \frac{1/6}{3}\Big(1+4\Big(\frac{36}{37}+\frac{4}{5}+\frac{36}{61}\Big)+2\Big(\frac{9}{10}+\frac{9}{13}\Big)+\frac{1}{2}\Big).
Note que \dfrac{1/6}{3}=\dfrac{1}{18}. Vou agora calcular as somas internas com cuidado.

Passo 6

Calcular as somas internas passo a passo.
Soma dos termos com peso 4:
\frac{36}{37}+\frac{4}{5}+\frac{36}{61}=\frac{26668}{11285}.
(Detalhe do cálculo: mínimo múltiplo comum é 37\cdot5\cdot61=11285. Convertindo e somando obtém-se 26668/11285.)
Multiplicando por 4:
4\Big(\frac{36}{37}+\frac{4}{5}+\frac{36}{61}\Big)=\frac{106672}{11285}.
Soma dos termos com peso 2:
\frac{9}{10}+\frac{9}{13}=\frac{207}{130}.
Multiplicando por 2:
2\Big(\frac{9}{10}+\frac{9}{13}\Big)=\frac{414}{130}=\frac{207}{65}.
Agora somamos tudo dentro dos parênteses:
1+\frac{1}{2}+\frac{106672}{11285}+\frac{207}{65}.
Colocando tudo sobre um denominador comum (usei 293410 que é o m.m.c. de 2,11285,65) obtemos
1+\frac{1}{2}+\frac{106672}{11285}+\frac{207}{65}=\frac{4147985}{293410}.

Passo 7

Multiplicar pelo fator \dfrac{1}{18} (que é h/3):
\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}} \approx \frac{1}{18}\cdot\frac{4147985}{293410}=\frac{4147985}{5281380}.
Podemos simplificar dividindo por 5:
\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}} \approx \frac{829597}{1056276}.

Passo 8

Lembrando que \dfrac{\pi}{4}=\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{1+x^{2}}, então multiplicamos a aproximação por 4 para obter \pi:
\pi \approx 4\cdot\frac{829597}{1056276}=\frac{3318388}{1056276}.
Simplificando (dividindo por 4) obtemos a forma reduzida
\pi \approx \frac{829597}{264069}.
Convertendo para decimal (divisão longa feita passo a passo) obtemos
\pi \approx 3{,}1415917809\ldots
ou arredondando,
\pi \approx 3{,}141591781.

Resposta

\pi \approx \dfrac{829597}{264069}\approx 3{,}1415917809

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