Uma senha é formada por quatro dígitos binários. Quantas senhas diferentes podem ser formadas?

Passo 1

O enunciado diz: uma senha é formada por quatro dígitos binários. A pergunta é: quantas senhas diferentes podem ser formadas?\n
Informações dadas: cada dígito é binário, ou seja só pode ser 0 ou 1. A senha tem exatamente 4 posições (dígitos). Não há nenhuma restrição adicional (por exemplo, repetir dígitos é permitido).

Passo 2

Princípio de contagem que vamos usar (regra do produto): se uma sequência de escolhas é feita em etapas independentes e a etapa i tem n_i possibilidades, então o número total de sequências possíveis é
\prod_i n_i.
Explicando com palavras: cada vez que você escolhe um dígito para a posição 1, para a posição 2 você ainda tem todas as opções possíveis, e assim por diante — então multiplicamos as quantidades de opções de cada posição. Um exemplo simples: se eu tenho 2 escolhas para a primeira etapa e 3 para a segunda, o total é 2\cdot 3 = 6.

Passo 3

Aplicando ao problema: cada uma das 4 posições da senha tem 2 possibilidades ( 0 ou 1). Como as posições são escolhidas independentemente, pelo princípio do produto o total de senhas é
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2.

Passo 4

Calculemos passo a passo para ficar bem claro:
2\cdot 2 = 4,
4\cdot 2 = 8,
8\cdot 2 = 16.
Também podemos escrever isso de forma compacta usando potência:
2^4 = 16.
Outra visão útil: cada senha de 4 dígitos binários corresponde a um número binário de 4 bits, que vai de 0000 até 1111. Esses são precisamente os 16 números inteiros de 0 a 15, logo há 16 senhas diferentes. Se quiser conferir com casos menores: com 1 dígito há 2 senhas, com 2 dígitos há 4, com 3 dígitos há 8 — segue a sequência das potências de 2.

Passo 5

Resumo prático para a prova: cada posição tem 2 opções; com 4 posições o total é 2^4; portanto o número de senhas é 16.

Resposta

16

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