Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU.
Passo 1
Beleza, temos o sistema
[
3 & -4 & 1 4 & 0 & -3 1 & 2 & 2 x1x2x3 = 9-23
]
O assunto aqui é resolver sistemas lineares de duas formas:
- eliminação de Gauss (a gente faz operações nas linhas pra zerar variáveis e depois usa substituição regressiva),
- decomposição LU (a gente fatora
, resolve primeiro por substituição direta e depois por regressiva).
Passo 2
Método da eliminação de Gauss – zerando
[ccc|c 3 & -4 & 1 & 9 4 & 0 & -3 & -2 1 & 2 & 2 & 3 ] nas linhas 2 e 3.
- Escreve a matriz aumentada
:[ccc|c 3 & -4 & 1 & 9 0 & tfrac163 & -tfrac133 & -14 0 & tfrac103 & tfrac53 & 0 ]
- Para zerar embaixo de 3 (na coluna 1):
– linha 2 linha 2 linha 1
– linha 3 linha 3 linha 1
Isso dá:
Passo 3
Ainda pela eliminação de Gauss – zerando
[ccc|c 3 & -4 & 1 & 9 0 & tfrac163 & -tfrac133 & -14 0 & 0 & tfrac358 & tfrac354 ] na linha 3 e resolvendo:
- Fator para zerar:
linha 3 linha 3 × linha 2
resulta em
- Agora resolvemos por substituição regressiva:
– da última linha:
– da segunda linha:
– da primeira linha:
Passo 4
Decomposição LU – descobrindo
L = 1 & 0 & 0 4/3 & 1 & 0 1/3 & 5/8 & 1 , U = 3 & -4 & 1 0 & 16/3 & -13/3 0 & 0 & 35/8 , e
:
Usamos os mesmos fatores de Gauss:
Usamos os mesmos fatores de Gauss:
de modo que
.
Passo 5
Resolvendo via
y1 = 9, y2 = -2 - tfrac43,y1 = -2 -12 = -14, y3 = 3 - tfrac13,9 - tfrac58(-14) = 0 + tfrac708 = tfrac354 :
- Substituição direta em
:358x3 = tfrac354implies x3=2, 163x2 - 133,2 = -14implies x2=-1, 3x1 -4(-1)+2=9implies x1=1
- Substituição regressiva em
: