Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU.
[ccc3 & -4 & 1 4 & 0 & -3 1 & 2 & 2][lx1 x2 x3]=[c9 -2 3]

Passo 1

Beleza, temos o sistema
[
3 & -4 & 1 4 & 0 & -3 1 & 2 & 2 x1x2x3 = 9-23

.
]
O assunto aqui é resolver sistemas lineares de duas formas:
  1. eliminação de Gauss (a gente faz operações nas linhas pra zerar variáveis e depois usa substituição regressiva),
  2. decomposição LU (a gente fatora , resolve primeiro por substituição direta e depois por regressiva).

Passo 2

Método da eliminação de Gauss – zerando [ccc|c 3 & -4 & 1 & 9 4 & 0 & -3 & -2 1 & 2 & 2 & 3 ] nas linhas 2 e 3.
  1. Escreve a matriz aumentada [ccc|c 3 & -4 & 1 & 9 0 & tfrac163 & -tfrac133 & -14 0 & tfrac103 & tfrac53 & 0 ] :
  1. Para zerar embaixo de 3 (na coluna 1):
    – linha 2 linha 2 linha 1
    – linha 3 linha 3 linha 1
    Isso dá:

Passo 3

Ainda pela eliminação de Gauss – zerando [ccc|c 3 & -4 & 1 & 9 0 & tfrac163 & -tfrac133 & -14 0 & 0 & tfrac358 & tfrac354 ] na linha 3 e resolvendo:
  1. Fator para zerar:
    linha 3 linha 3 × linha 2
    resulta em
  1. Agora resolvemos por substituição regressiva:
    – da última linha:
    – da segunda linha:
    – da primeira linha:

Passo 4

Decomposição LU – descobrindo L = 1 & 0 & 0 4/3 & 1 & 0 1/3 & 5/8 & 1 , U = 3 & -4 & 1 0 & 16/3 & -13/3 0 & 0 & 35/8 , e :
Usamos os mesmos fatores de Gauss:
de modo que .

Passo 5

Resolvendo via y1 = 9, y2 = -2 - tfrac43,y1 = -2 -12 = -14, y3 = 3 - tfrac13,9 - tfrac58(-14) = 0 + tfrac708 = tfrac354 :
  1. Substituição direta em 358x3 = tfrac354implies x3=2, 163x2 - 133,2 = -14implies x2=-1, 3x1 -4(-1)+2=9implies x1=1 :
  1. Substituição regressiva em :

Resposta

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