Representar na base binaria os seguintes numeros decimais
0.40875

Passo 1

O que o problema pede: representar o número decimal 0{,}40875 na base binária.
Informações dadas: apenas o número decimal 0{,}40875.

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática e simples). Vou usar o método clássico das frações: transformar a parte fracionária em binário multiplicando por 2 repetidas vezes e registrando a parte inteira obtida em cada multiplicação. A regra é:
\text{Se } r_0 \text{ é a parte fracionária, então para } k\ge1:éáã
d_k=\lfloor 2 r_{k-1}\rfloor,\qquad r_k=2 r_{k-1}-d_k,
onde cada d_k\in\{0,1\} é o k-ésimo dígito binário depois da vírgula. Em palavras: multiplica-se por 2, o inteiro que vem é o próximo bit; a parte fracionária resultante vai para a próxima rodada.
Vou também usar uma forma equivalente com numeradores inteiros para evitar erros de arredondamento: escrever 0{,}40875 como fração e trabalhar com numeradores módulo do denominador.

Passo 3

Converter o decimal em fração para trabalhar exatamente.
0{,}40875=\frac{40875}{100000}.
Simplificando dividindo por 125:
\frac{40875}{100000}=\frac{327}{800}.
Então a parte fracionária que vamos converter é \dfrac{327}{800}.
Comentário importante (teoria curta): uma fração \dfrac{a}{b} tem expansão finita em base 2 se, e somente se, o denominador reduzido b é potência de 2. Aqui 800=2^{5}\cdot5^{2}, tem fator 5^{2}, portanto a expansão binária será periódica (infinita repetitiva). Isso já nos diz que encontraremos um bloco que se repete.

Passo 4

Converter usando numeradores inteiros (algoritmo passo a passo).
Defino n_0=327 e denominador 800. Em cada passo faço 2n_{k-1}. O dígito binário d_k é 0 se 2n_{k-1}<800 e 1 se 2n_{k-1}\ge800. O novo numerador é n_k=(2n_{k-1})\bmod800.
Faço as iterações e mostro k, 2n_{k-1}, d_k e n_k:
k=1: 2n_0=2\cdot327=654 \Rightarrow d_1=0, n_1=654.
k=2: 2n_1=1308 \Rightarrow d_2=1, n_2=1308-800=508.
k=3: 2n_2=1016 \Rightarrow d_3=1, n_3=1016-800=216.
k=4: 2n_3=432 \Rightarrow d_4=0, n_4=432.
k=5: 2n_4=864 \Rightarrow d_5=1, n_5=864-800=64.
k=6: 2n_5=128 \Rightarrow d_6=0, n_6=128.
k=7: 2n_6=256 \Rightarrow d_7=0, n_7=256.
k=8: 2n_7=512 \Rightarrow d_8=0, n_8=512.
k=9: 2n_8=1024 \Rightarrow d_9=1, n_9=1024-800=224.
k=10: 2n_9=448 \Rightarrow d_{10}=0, n_{10}=448.
k=11: 2n_{10}=896 \Rightarrow d_{11}=1, n_{11}=96.
k=12: 2n_{11}=192 \Rightarrow d_{12}=0, n_{12}=192.
k=13: 2n_{12}=384 \Rightarrow d_{13}=0, n_{13}=384.
k=14: 2n_{13}=768 \Rightarrow d_{14}=0, n_{14}=768.
k=15: 2n_{14}=1536 \Rightarrow d_{15}=1, n_{15}=1536-800=736.
k=16: 2n_{15}=1472 \Rightarrow d_{16}=1, n_{16}=1472-800=672.
k=17: 2n_{16}=1344 \Rightarrow d_{17}=1, n_{17}=1344-800=544.
k=18: 2n_{17}=1088 \Rightarrow d_{18}=1, n_{18}=1088-800=288.
k=19: 2n_{18}=576 \Rightarrow d_{19}=0, n_{19}=576.
k=20: 2n_{19}=1152 \Rightarrow d_{20}=1, n_{20}=1152-800=352.
k=21: 2n_{20}=704 \Rightarrow d_{21}=0, n_{21}=704.
k=22: 2n_{21}=1408 \Rightarrow d_{22}=1, n_{22}=1408-800=608.
k=23: 2n_{22}=1216 \Rightarrow d_{23}=1, n_{23}=1216-800=416.
k=24: 2n_{23}=832 \Rightarrow d_{24}=1, n_{24}=832-800=32.
k=25: 2n_{24}=64 \Rightarrow d_{25}=0, n_{25}=64.
Observação: em k=5 já tínhamos n_5=64; reapareceu em k=25 com n_{25}=64. Quando um numerador n_j se repete, a sequência de dígitos a partir daí entra em ciclo. Aqui isso mostra que a repetição começa imediatamente após o quinto dígito e tem comprimento 25-5=20 bits.

Passo 5

Agora escrevo os dígitos binários coletados (cada d_k é o k-ésimo bit após a vírgula):
(d_1,d_2,d_3,\dots)=(0,1,1,0,1,\,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,\dots)
Então os cinco primeiros bits (prefixo não-periódico) são
01101
e o bloco que se repete (os próximos 20 bits, de d_6 a d_{25}) é
00010100011110101110.

Passo 6

Escrevo a representação binária final usando notação de repetição (parênteses para o bloco periódico). Assim:
0{,}40875_{10}=0{,}01101\bigl(00010100011110101110\bigr)_2,
onde o bloco entre parênteses se repete infinitamente.
Breve checagem intuitiva: os primeiros bits dão uma aproximação e, se reconvertidos, ficam próximos de 0{,}40875; como a fração original tem fator 5 no denominador reduzido, esperar uma repetição infinita em base 2 é consistente.

Resposta

0{,}01101\bigl(00010100011110101110\bigr)_2

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