Representar na base binaria os seguintes numeros decimais
0.40875
0.40875
Passo 1
O que o problema pede: representar o número decimal
na base binária.
Informações dadas: apenas o número decimal .
Informações dadas: apenas o número decimal
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática e simples). Vou usar o método clássico das frações: transformar a parte fracionária em binário multiplicando por
repetidas vezes e registrando a parte inteira obtida em cada multiplicação. A regra é:
onde cada
é o
-ésimo dígito binário depois da vírgula. Em palavras: multiplica-se por
, o inteiro que vem é o próximo bit; a parte fracionária resultante vai para a próxima rodada.
Vou também usar uma forma equivalente com numeradores inteiros para evitar erros de arredondamento: escrever
como fração e trabalhar com numeradores módulo do denominador.
Passo 3
Converter o decimal em fração para trabalhar exatamente.
Simplificando dividindo por
:
Então a parte fracionária que vamos converter é
.
Comentário importante (teoria curta): uma fração
tem expansão finita em base
se, e somente se, o denominador reduzido
é potência de
. Aqui
, tem fator
, portanto a expansão binária será periódica (infinita repetitiva). Isso já nos diz que encontraremos um bloco que se repete.
Passo 4
Converter usando numeradores inteiros (algoritmo passo a passo).
Defino e denominador
. Em cada passo faço
. O dígito binário
é
se
e
se
. O novo numerador é
.
Defino
Faço as iterações e mostro
,
,
e
:
k=1:
,
.
k=2:
,
.
k=3:
,
.
k=4:
,
.
k=5:
,
.
k=6:
,
.
k=7:
,
.
k=8:
,
.
k=9:
,
.
k=10:
,
.
k=11:
,
.
k=12:
,
.
k=13:
,
.
k=14:
,
.
k=15:
,
.
k=16:
,
.
k=17:
,
.
k=18:
,
.
k=19:
,
.
k=20:
,
.
k=21:
,
.
k=22:
,
.
k=23:
,
.
k=24:
,
.
k=25:
,
.
k=2:
k=3:
k=4:
k=5:
k=6:
k=7:
k=8:
k=9:
k=10:
k=11:
k=12:
k=13:
k=14:
k=15:
k=16:
k=17:
k=18:
k=19:
k=20:
k=21:
k=22:
k=23:
k=24:
k=25:
Observação: em
já tínhamos
; reapareceu em
com
. Quando um numerador
se repete, a sequência de dígitos a partir daí entra em ciclo. Aqui isso mostra que a repetição começa imediatamente após o quinto dígito e tem comprimento
bits.
Passo 5
Agora escrevo os dígitos binários coletados (cada
é o
-ésimo bit após a vírgula):
Então os cinco primeiros bits (prefixo não-periódico) são
e o bloco que se repete (os próximos
bits, de
a
) é
Passo 6
Escrevo a representação binária final usando notação de repetição (parênteses para o bloco periódico). Assim:
onde o bloco entre parênteses se repete infinitamente.
Breve checagem intuitiva: os primeiros bits dão uma aproximação e, se reconvertidos, ficam próximos de
; como a fração original tem fator
no denominador reduzido, esperar uma repetição infinita em base
é consistente.