Represente o número decimal ( 0.2 ) na base binária com 4 dígitos.

Passo 1

O enunciado pede para representar o número decimal 0,2 na base binária usando exatamente 4 dígitos (quatro casas fracionárias) após o separador. Informação fornecida:
  • O número a converter é \,0,2 (base decimal).
  • Quer-se a representação em base binária com 4 dígitos fracionários.

Passo 2

Vou explicar o método que vamos usar (passo a passo, bem didático).
  • Para converter a parte fracionária decimal para binário usa-se o método da multiplicação sucessiva por 2.
  • Em cada passo: multiplica-se a parte fracionária atual por 2; a parte inteira do produto (ou seja, 0 ou 1) é o próximo dígito binário fracionário; a nova parte fracionária passa a ser a fração do produto e repete-se.
  • Em notação: se x é a parte fracionária inicial ( 0\le x<1), então para k=1,2,\dots definimos:
y_k = 2\cdot x_{k-1}, \qquad b_k = \lfloor y_k\rfloor, \qquad x_k = y_k - b_k,
com x_0=x. O dígito binário k-ésimo é b_k\in\{0,1\}.
  • Depois de obter 4 dígitos b_1b_2b_3b_4, a representação com 4 dígitos será 0,b_1b_2b_3b_4_2. Se o resto voltar a um valor anterior, a expansão é periódica.

Passo 3

Aplicando o método ao número \,0,2 (vou mostrar cada multiplicação e o dígito gerado).
  1. Primeira multiplicação:
2\cdot 0,2 = 0,4.
A parte inteira é 0, logo b_1=0. A nova parte fracionária é x_1=0,4.
  1. Segunda multiplicação:
2\cdot 0,4 = 0,8.
A parte inteira é 0, logo b_2=0. A nova parte fracionária é x_2=0,8.
  1. Terceira multiplicação:
2\cdot 0,8 = 1,6.
A parte inteira é 1, logo b_3=1. A nova parte fracionária é x_3=0,6.
  1. Quarta multiplicação:
2\cdot 0,6 = 1,2.
A parte inteira é 1, logo b_4=1. A nova parte fracionária é x_4=0,2.

Passo 4

Observação importante (ciclo): após a quarta multiplicação a parte fracionária voltou a x_4=0,2, que é exatamente o valor inicial. Isso significa que a expansão binária de \,0,2 é periódica, com bloco repetido 0011. Ou seja,
0,2_{10} = 0,0011\,0011\,0011\ldots_2 = 0,\overline{0011}_2.

Passo 5

Como o enunciado pede exatamente 4 dígitos na base binária, pegamos os quatro primeiros bits que encontramos:
b_1b_2b_3b_4 = 0\,0\,1\,1.
Portanto a representação com 4 dígitos fracionários é 0,0011_2.

Passo 6

Para entender o que esse número com 4 dígitos vale em decimal (checar aproximação):
0,0011_2 = 2^{-3}+2^{-4}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16}=0,1875_{10}.
Ou seja, 0,0011_2 é uma aproximação de 0,2_{10}; a expansão exata é repetida 0,\overline{0011}_2. Se fosse pedido arredondar para 4 bits, como o 5.º bit da expansão periódica é 0, o arredondamento manteria 0,0011_2.

Resposta

0,0011_2

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