Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}\right}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar, no plano de Argand–Gauss, o conjunto \{\,z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\mid z+\tfrac1z\in\mathbb{R}\}.
O conteúdo envolvido é geometria de números complexos, usando a condição de parte imaginária nula.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} e z\neq0. Então
\frac1z = \frac{\bar z}{|z|^2} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}.
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z+\frac1z = x+iy + \frac{x}{x^2+y^2} - i\,\frac{y}{x^2+y^2}.
A parte imaginária é
\Im\bigl(z+\tfrac1z\bigr) = y - \frac{y}{x^2+y^2} = y\Bigl(1 - \frac1{x^2+y^2}\Bigr).
Para que z+\tfrac1z seja real, precisamos de
y\Bigl(1 - \frac1{x^2+y^2}\Bigr)=0.

Passo 3

Da equação anterior surgem duas possibilidades:
  1. y=0, i.e.\ z=x é real (com x\neq0 para evitar z=0).
  2. 1 - \tfrac1{x^2+y^2}=0, i.e.\ x^2+y^2=1, o que significa |z|=1.

Passo 4

Cada caso tem interpretação geométrica:
  • y=0 é o eixo real (exceto o ponto 0 que não está no domínio).
  • |z|=1 é o círculo unitário no plano complexo.

Resposta

O conjunto \{z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\mid z+\tfrac1z\in\mathbb{R}\} é a união do eixo real (sem o ponto 0) e do círculo de raio 1.

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