Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}\right}
\left{z \in \mathbb{C} ; z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}\right}
Passo 1
O enunciado pede para desenhar, no plano de Argand–Gauss, o conjunto
.
O conteúdo envolvido é geometria de números complexos, usando a condição de parte imaginária nula.
O conteúdo envolvido é geometria de números complexos, usando a condição de parte imaginária nula.
Passo 2
Escrevemos
com
e
. Então
Logo
A parte imaginária é
Para que
seja real, precisamos de
Passo 3
Da equação anterior surgem duas possibilidades:
-
, i.e.\ é real (com para evitar ). -
, i.e.\ , o que significa .
Passo 4
Cada caso tem interpretação geométrica:
-
é o eixo real (exceto o ponto que não está no domínio). -
é o círculo unitário no plano complexo.
Resposta
O conjunto
é a união do eixo real (sem o ponto
) e do círculo de raio
.