Represente os números
no sistema
.
Passo 1
O enunciado pede: representar os números
,
e
no sistema
.
Dados fornecidos explicitamente: a tupla do sistema é (base),
(precisão: número de algarismos significativos em base
),
(expoente mínimo) e
(expoente máximo).
A tarefa é escrever cada na forma normalizada permitida por esse sistema, aplicando arredondamento quando necessário, e verificar se o expoente cai no intervalo permitido.
Dados fornecidos explicitamente: a tupla do sistema é
A tarefa é escrever cada
Passo 2
O que significa representar em
(explicação direta e prática).
onde
(normalização), cada
, e
.
- Aqui
, então para números normalizados. -
significa que a mantissa terá exatamente 3 dígitos em base : . Por exemplo tem . - Se o expoente necessário ficar fora de
o número normalizado não pode ser representado nesse conjunto (sistema padrão não inclui subnormais), então ocorre underflow e, normalmente, arredonda-se para zero.
Passo 3
Regra de arredondamento que usaremos (muito importante na prova): arredondar para o mais próximo representável; para decidir usamos o primeiro dígito descartado (o mais significativo entre os descartados):
- Se esse dígito for
→ arredonda-se para baixo (não incrementa). - Se esse dígito for
e há bits seguintes não nulos → arredonda-se para cima (incrementa a mantissa). - Se esse dígito for
e todos os seguintes são zeros → empate; usa-se arredondamento para o par (round-to-even), isto é, incrementar só se o último bit mantido for .
Este é o procedimento padrão (é o que a maioria das provas espera).
Passo 4
Representação de
. (conversão detalhada)
- Encontrar expoente
para normalizar: multiplicamos por potências de até obter número entre e .
logo a forma normalizada é
, então
.
2) Converter a parte fracionária (de
) em binário para obter os dígitos da mantissa:
2) Converter a parte fracionária
- peso
: primeiro bit fracionário , resto . - peso
: segundo bit fracionário , resto . - peso
: terceiro bit fracionário , resto .
Assim os três dígitos significativos (incluindo o dígito principal) são , isto é mantissa .
- Verificar bit descartado imediato (para arredondar): o primeiro bit descartado (o seguinte a
) corresponde a peso . Observamos que ele vale (já que o resto após os três primeiros bits era e ); portanto arredondamos para baixo (sem incremento). - Verificar expoente no intervalo:
e o intervalo é . Aqui , isto é, o expoente necessário é menor que o mínimo permitido. Conclusão: o número não pode ser representado como número normalizado em . Pelo critério do sistema padrão, isto é underflow — o conjunto não contém esse número normalizado; portanto, o valor representável mais próximo é .
Observação: se tivéssemos permissão para subnormais (denormalizados) poderíamos tentar outra forma, mas o enunciado dá a forma padrãosem subnormais, então aqui resulta em underflow para .
Passo 5
Representação de
. (conversão detalhada)
- Encontrar expoente
para normalizar: está entre e , logo
portanto
.
2) Converter a parte fracionária em binário (multiplicação sucessiva por
):
2) Converter a parte fracionária
- peso
: primeiro bit fracionário , resto . - peso
: segundo bit fracionário , resto .
Como precisamos de apenasdígitos totais (um dígito antes do ponto e dois fracionários), os dígitos mantidos são , ou seja .
- Bit descartado imediato (para arredondamento) é o próximo bit (peso
). Calculamos que esse bit é porque . Como o primeiro bit descartado é , arredondamos para baixo (sem incremento), mesmo que bits ainda seguintes possam existir. - Verificar expoente:
está dentro do intervalo (é o limite superior permitido), então a representação é válida.
Conclusão:é representado por .
Passo 6
Representação de
. (conversão detalhada e decisão sobre underflow)
- Normalização: multiplicamos para achar expoente
.
logo a forma normalizada seria
, portanto
.
2) Mas o intervalo de expoentes permitido é ; aqui
. Assim o expoente necessário para normalizar
está fora do intervalo permitido. Pelo mesmo motivo do caso de
, sem subnormais isso é underflow. Portanto no conjunto
o número representável mais próximo é
.
Não há representação normalizada válida com .
2) Mas o intervalo de expoentes permitido é
Não há representação normalizada válida com