Represente os números x_{1}=0.38, x_{2}=5.3, x_{3}=0.15 no sistema F(2,3,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede: representar os números x_{1}=0{,}38, x_{2}=5{,}3 e x_{3}=0{,}15 no sistema F(2,3,-1,2).
Dados fornecidos explicitamente: a tupla do sistema é \beta=2 (base), t=3 (precisão: número de algarismos significativos em base 2), L=-1 (expoente mínimo) e U=2 (expoente máximo).
A tarefa é escrever cada x_i na forma normalizada permitida por esse sistema, aplicando arredondamento quando necessário, e verificar se o expoente cai no intervalo permitido.

Passo 2

O que significa representar em F(\beta,t,L,U) (explicação direta e prática).
\text{Os números representáveis são }0\text{ e } \pm (d_0.d_1\ldots d_{t-1})_\beta\times\beta^eúáã
onde d_0\neq 0 (normalização), cada d_j\in\{0,1,\dots,\beta-1\}, e L\le e\le U.
  • Aqui \beta=2, então d_0=1 para números normalizados.
  • t=3 significa que a mantissa terá exatamente 3 dígitos em base 2: d_0,d_1,d_2. Por exemplo (1.10)_2 tem d_0=1,d_1=1,d_2=0.
  • Se o expoente necessário ficar fora de [L,U] o número normalizado não pode ser representado nesse conjunto (sistema padrão F(\cdot) não inclui subnormais), então ocorre underflow e, normalmente, arredonda-se para zero.

Passo 3

Regra de arredondamento que usaremos (muito importante na prova): arredondar para o mais próximo representável; para decidir usamos o primeiro dígito descartado (o mais significativo entre os descartados):
  • Se esse dígito for 0 → arredonda-se para baixo (não incrementa).
  • Se esse dígito for 1 e há bits seguintes não nulos → arredonda-se para cima (incrementa a mantissa).
  • Se esse dígito for 1 e todos os seguintes são zeros → empate; usa-se arredondamento para o par (round-to-even), isto é, incrementar só se o último bit mantido for 1.
    Este é o procedimento padrão (é o que a maioria das provas espera).

Passo 4

Representação de x_1=0{,}38. (conversão detalhada)
  1. Encontrar expoente e para normalizar: multiplicamos por potências de 2 até obter número entre 1 e 2.
0{,}38\times 2^2 = 1{,}52
logo a forma normalizada é 1{,}52\times 2^{-2}, então e=-2.
2) Converter a parte fracionária 0{,}52 (de 1{,}52) em binário para obter os dígitos da mantissa:
  • peso 1/2=0{,}5: 0{,}52\ge 0{,}5\Rightarrow primeiro bit fracionário =1, resto 0{,}02.
  • peso 1/4=0{,}25: 0{,}02<0{,}25\Rightarrow segundo bit fracionário =0, resto 0{,}02.
  • peso 1/8=0{,}125: 0{,}02<0{,}125\Rightarrow terceiro bit fracionário =0, resto 0{,}02.
    Assim os três dígitos significativos (incluindo o dígito principal d_0) são d_0=1,\\ d_1=1,\\ d_2=0, isto é mantissa (1.10)_2.
  1. Verificar bit descartado imediato (para arredondar): o primeiro bit descartado (o seguinte a d_2) corresponde a peso 1/16=0{,}0625. Observamos que ele vale 0 (já que o resto após os três primeiros bits era 0{,}02 e 0{,}02<0{,}0625); portanto arredondamos para baixo (sem incremento).
  2. Verificar expoente no intervalo: e=-2 e o intervalo é [-1,2]. Aqui e=-2<L=-1, isto é, o expoente necessário é menor que o mínimo permitido. Conclusão: o número não pode ser representado como número normalizado em F(2,3,-1,2). Pelo critério do sistema padrão, isto é underflow — o conjunto F não contém esse número normalizado; portanto, o valor representável mais próximo é 0.
    Observação: se tivéssemos permissão para subnormais (denormalizados) poderíamos tentar outra forma, mas o enunciado dá a forma padrão F(\beta,t,L,U) sem subnormais, então aqui resulta em underflow para 0.

Passo 5

Representação de x_2=5{,}3. (conversão detalhada)
  1. Encontrar expoente e para normalizar: 5{,}3 está entre 4 e 8, logo
5{,}3 = 1{,}325\times 2^{2}
portanto e=2.
2) Converter a parte fracionária 0{,}325 em binário (multiplicação sucessiva por 2):
  • peso 1/2=0{,}5: 0{,}325<0{,}5\Rightarrow primeiro bit fracionário =0, resto 0{,}325.
  • peso 1/4=0{,}25: 0{,}325\ge 0{,}25\Rightarrow segundo bit fracionário =1, resto 0{,}075.
    Como precisamos de apenas t=3 dígitos totais (um dígito 1 antes do ponto e dois fracionários), os dígitos mantidos são d_0=1,\\ d_1=0,\\ d_2=1, ou seja (1.01)_2.
  1. Bit descartado imediato (para arredondamento) é o próximo bit (peso 1/8=0{,}125). Calculamos que esse bit é 0 porque 0{,}075<0{,}125. Como o primeiro bit descartado é 0, arredondamos para baixo (sem incremento), mesmo que bits ainda seguintes possam existir.
  2. Verificar expoente: e=2 está dentro do intervalo [-1,2] (é o limite superior permitido), então a representação é válida.
    Conclusão: x_2 é representado por (1.01)_2\times 2^{2}.

Passo 6

Representação de x_3=0{,}15. (conversão detalhada e decisão sobre underflow)
  1. Normalização: multiplicamos para achar expoente e.
0{,}15\times 2^3 = 1{,}2
logo a forma normalizada seria 1{,}2\times 2^{-3}, portanto e=-3.
2) Mas o intervalo de expoentes permitido é [-1,2]; aqui e=-3 < L=-1. Assim o expoente necessário para normalizar 0{,}15 está fora do intervalo permitido. Pelo mesmo motivo do caso de x_1, sem subnormais isso é underflow. Portanto no conjunto F(2,3,-1,2) o número representável mais próximo é 0.
Não há representação normalizada válida com L\le e\le U.

Resposta

x_{1}=0
x_{2}=(1.01)_2\times 2^{2}
x_{3}=0

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