Represente os seguintes números decimais na forma fracionária mn, em que m e n são números inteiros.
8,02525252525252525 ldots

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem o número decimal periódico
8,025252525ldots
Queremos escrever isso como uma fração , com inteiros.
Conteúdo da matéria: conversão de decimal periódico em fração. Vamos precisar entender como “alinhar” a parte repetida multiplicando por potências de 10 e depois subtrair para eliminar o periódico.

Passo 2

Definindo a incógnita:
Seja
x = 8,025252525ldots
Nosso objetivo é achar uma expressão de na forma .

Passo 3

Entendendo o truque do periódico:
  1. Quando você multiplica 10x = 80,25252525ldots por potências de 10, o ponto decimal “anda” para a direita.
  2. Queremos duas equações que tenham a mesma parte decimal repetida, para subtrair uma da outra e cancelar o “2525…” no final.
Repare que a parte não periódica é só o “0” logo depois da vírgula, e a parte periódica é “25” que se repete.
  • Multiplicando por 10: 1000x = 8025,25252525ldots
  • Multiplicando por 1000:

Passo 4

Subtraindo para eliminar a parte repetida:
1000x - 10x = 8025,2525ldots - 80,2525ldots
No lado esquerdo temos 8025,2525ldots - 80,2525ldots = 7945 .
No lado direito, a parte “,2525…” some, sobrando:
990x = 7945
Logo
x = 7945990

Passo 5

Simplificando a fração 7945990 = 7945div5990div5 = 1589198 :
  • Dividimos numerador e denominador por 5 (o maior divisor em comum):
  • Verificamos que 1589 e 198 não têm mais nenhum divisor comum além de 1, então está na forma mais simples.

Resposta

boxed1589198

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