Represente os seguintes números decimais na forma fracionária
, em que
e
são números inteiros.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem o número decimal periódico
Queremos escrever isso como uma fração
, com
inteiros.
Conteúdo da matéria: conversão de decimal periódico em fração. Vamos precisar entender como “alinhar” a parte repetida multiplicando por potências de 10 e depois subtrair para eliminar o periódico.
Conteúdo da matéria: conversão de decimal periódico em fração. Vamos precisar entender como “alinhar” a parte repetida multiplicando por potências de 10 e depois subtrair para eliminar o periódico.
Passo 2
Definindo a incógnita:
Seja
Seja
Nosso objetivo é achar uma expressão de
na forma
.
Passo 3
Entendendo o truque do periódico:
- Quando você multiplica
por potências de 10, o ponto decimal “anda” para a direita. - Queremos duas equações que tenham a mesma parte decimal repetida, para subtrair uma da outra e cancelar o “2525…” no final.
Repare que a parte não periódica é só o “0” logo depois da vírgula, e a parte periódica é “25” que se repete.
- Multiplicando por 10:
- Multiplicando por 1000:
Passo 4
Subtraindo para eliminar a parte repetida:
No lado esquerdo temos
.
No lado direito, a parte “,2525…” some, sobrando:
No lado direito, a parte “,2525…” some, sobrando:
Logo
Passo 5
Simplificando a fração
:
- Dividimos numerador e denominador por 5 (o maior divisor em comum):
- Verificamos que 1589 e 198 não têm mais nenhum divisor comum além de 1, então está na forma mais simples.