Represente os seguintes números decimais na forma fracionária mn, em que m e n são números inteiros.
17,077777777 ldots

Passo 1

Então, o problema pede pra gente pegar o número decimal 17,077777777… (onde só o 7 depois do zero repete infinitamente) e escrever isso como uma fração com inteiros.
Conteúdo: decimais periódicos e frações geratrizes.
O que vamos precisar:
  • Entender a diferença entre parte não-periódica (aqui, “0” depois do ponto) e parte periódica (“7” que se repete).
  • Aplicar o truque de multiplicar por potências de 10 para “encaixotar” o período e eliminá-lo via subtração de equações.

Passo 2

Vamos chamar nosso número de
x = 17,077777777ldots
Aqui há uma casa decimal não-periódica (“0”) e depois uma casa que se repete (“7”). Como o período tem comprimento 1 (só o dígito 7), definimos duas multiplicações:
  • Multiplicar por 10x = 170,77777777ldots e 100x = 1707,7777777ldots para levar a parte não-periódica inteira à esquerda do ponto;
  • Multiplicar por para levar também uma repetição completa pra lá.
Então:

Passo 3

Agora subtraímos as duas equações para cancelar a parte periódica:
100x - 10x = 1707,7777ldots - 170,7777ldots
Isso dá
90x = 1537
Porque .

Passo 4

Isolando x = 153790 :
A fração já está em termos de inteiros e não simplifica mais (o não divide por 2, 3 ou 5).

Resposta

17,077777777ldots = 153790

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