Represente os seguintes números decimais na forma fracionária
, em que
e
são números inteiros.
Passo 1
Então, o problema pede pra gente pegar o número decimal 17,077777777… (onde só o 7 depois do zero repete infinitamente) e escrever isso como uma fração
com
inteiros.
Conteúdo: decimais periódicos e frações geratrizes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: decimais periódicos e frações geratrizes.
O que vamos precisar:
- Entender a diferença entre parte não-periódica (aqui, “0” depois do ponto) e parte periódica (“7” que se repete).
- Aplicar o truque de multiplicar por potências de 10 para “encaixotar” o período e eliminá-lo via subtração de equações.
Passo 2
Vamos chamar nosso número de
Aqui há uma casa decimal não-periódica (“0”) e depois uma casa que se repete (“7”). Como o período tem comprimento 1 (só o dígito 7), definimos duas multiplicações:
- Multiplicar por
para levar a parte não-periódica inteira à esquerda do ponto; - Multiplicar por
para levar também uma repetição completa pra lá.
Então:
Passo 3
Agora subtraímos as duas equações para cancelar a parte periódica:
Isso dá
Porque
.
Passo 4
Isolando
:
A fração já está em termos de inteiros e não simplifica mais (o
não divide por 2, 3 ou 5).