Sabendo-se que a meia-vida do elemento rádio 226 é de 1620 anos. Determine o tempo necessário para que uma amostra deste elemento tenha sua massa reduzida a 3 / 4 do original.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um elemento rádio-226 cuja meia-vida é de 1620 anos e queremos saber em quanto tempo a massa da amostra cai para ¾ da original.
Conteúdo da matéria: decaimento radioativo modelado por função exponencial e uso de logaritmos para resolver equações envolvendo potências.

Passo 2

Montando a equação de decaimento exponencial:
A massa em função do tempo M(t) = M0 ,gl(tfrac12gr)^tfract1620, é
tfracM(t)M0 ;=;gl(tfrac12gr)^tfract1620 ;=;tfrac34
onde é a massa inicial e 1620 anos é a meia-vida. Como queremos , escrevemos

Passo 3

Agora a gente isola o tempo ln!l((tfrac12)^tfract1620r) ;=;ln!l(tfrac34r) . Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
tfract1620,ln!l(tfrac12r) ;=;ln!l(tfrac34r)
Usando t ;=; 1620,ln(tfrac34)ln(tfrac12) :
Então

Passo 4

Basta calcular numericamente:
ln!l(tfrac34r)approx -0,2877, ln!l(tfrac12r)approx -0,6931,
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t approx 1620 times -0,2877-0,6931 approx 672,3 anos

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 672 anos.

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