Considere a equação diferencial y^prime=A y+h(t) onde:
A=[ccc 1 & 1 & 0 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 ] h(t)=[c 0 0 e^t ]
b) Determine a solução da equação que passa pelo ponto y(0)=(1,0,0)^T.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos um sistema linear não-homogêneo
y' = A,y + h(t),
onde
A = 1 & 1 & 0 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 , h(t)=00e^t,
e a condição inicial é .
O conteúdo aqui é “equações diferenciais lineares de sistemas” e vamos usar:
  1. Reduzir o sistema em componentes,
  2. Eliminar para achar uma EDO de segunda ordem em ,
  3. Resolver a homogênea e achar uma particular por coeficientes a determinar,
  4. Voltar em e ,
  5. Ajustar constantes com .

Passo 2

Escrevendo o sistema em componentes:
y1' = y1 + y2, y2' = 2,y2 - y3, y3' = y2 + e^t
Para eliminar, note que da terceira equação y3'' = y2' + e^t = (2y2 - y3) + e^t .
Derivando de novo:
y3'' = 2(y3' - e^t) - y3 + e^t = 2y3' - y3 - e^t
Substituindo y3'' - 2y3' + y3 = -,e^t :
Reorganizando, vem a EDO não-homogênea

Passo 3

Primeiro a solução homogênea da EDO em r^2 - 2r +1=(r-1)^2=0 Longrightarrow y3h(t)=(C1 + C2,t)e^t :
y3p(t) = a,t^2,e^t
Agora achamos uma particular para o lado y3p''-2y3p'+y3p =2a,e^t stackrel!=-e^t Longrightarrow a=-tfrac12 . Como y3(t) = l(C1 + C2,t - tfrac12,t^2r)e^t já aparece na homogênea com multiplicidade 2, chutamos
Calculando
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Passo 4

Volta pra y3' = e^tl(C1 + C2,t - tfrac12t^2r) + e^tl(C2 - tr) = e^tl(C1 + C2 + (C2-1)t - tfrac12t^2r), usando y2(t) = y3' - e^t = e^tl(C1 + C2 -1 + (C2-1)t - tfrac12t^2r) . Derivando
ddtl(e^-ty1r) = e^-ty2 = C0 + C1',t + C2',t^2
então
y1(t) = e^tl(C3 + alpha,t + tfracbeta2t^2 + tfracgamma3t^3r),
Agora resolvemos .
Fator integrante
(é polinomial em ), integramos e multiplicamos por .
O resultado geral fica
com expressos em .

Passo 5

Ajustando as constantes pela condição y3(t)&=e^tl(0 +1cdot t -tfrac12t^2r) =e^tl(t - tfrac12t^2r), y2(t)&=e^tl(0+0cdot t -tfrac12t^2r) = -tfrac12,t^2,e^t, y1(t)&=e^tl(1 ;-;tfrac16t^3r) :
  • ,
  • ,
  • , daí .
    Substituindo volta:

Resposta

A solução que passa por boxed y(t) = e^tl(1-tfract^36r)[6pt] -tfrac12,t^2,e^t[4pt] e^tl(t-tfrac12,t^2r) é

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