Sabendo que a função f(x)=sen(x)-e^x intercepta o eixo das abscissas no intervalo [-4, -3]. Pede-se para calcular o valor de x com tolerância 110^-4 usando os seguintes métodos:
a. Método da bisseção.
b. Método do ponto fixo com phi(x)=x-2 sen(x)+5.0 e^x e x0=-4.
c. Método de Newton com x0=-0.4
d. Método da secante com x0=-0.4 e x1=-3

Passo 1

Beleza, quer resolver a raiz da função
no intervalo f(x)=sen(x)-e^x com tolerância .
Conteúdo: métodos numéricos de ponto‐raiz (bisseção, ponto‐fixo, Newton e secante).
O que vamos precisar:
  1. Saber testar sinais de para bisseção.
  2. Entender convergência de um iterador (|ϕ′|<1).
  3. Fórmula de Newton .
  4. Fórmula da secante.
A partir do próximo passo, partimos para as contas.

Passo 2

  1. Começamos com f(-4)=sen(-4)-e^-4approx0,7568-0,0183>0, f(-3)approx-0,1411-0,0498<0, xapprox -3,1918(erro menor que 10^-4). Vimos que
  2. Como os sinais são opostos, existe raiz em .
  3. A cada iteração tomamos o ponto médio e verificamos o sinal de .
  4. Repetimos até que .
  5. Em cerca de 14 iterações chegamos a

Passo 3

Nos deram
Para convergir é preciso varphi(x)=x-2,sen(x)+5,e^x, x0=-0,4 perto da raiz.
Mas já na primeira iteração sai
que nos leva pra longe do intervalo x1=varphi(-0,4)approx -0,4-2,sen(-0,4)+5,e^-0.4approx3,73, .
Logo não converge.

Passo 4

Fórmula:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn), f'(x)=cos(x)-e^x
Com f(-0,4)approx -1,0597, f'(-0,4)approx0,9211-0,6703=0,2508, temos
x1=-0,4--1,05970,2508approx3,82,
já pula pra longe da raiz. Então não converge.

Passo 5

Fórmula:
xn+1 =xn-;f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
Com f(-0,4)<0, f(-0,3)<0, , notamos
ambos têm mesmo sinal, o método não “fecha” o intervalo da raiz e acaba não convergindo.

Resposta

a) Pelo método da bisseção:
xapprox-3,1918(to<=rância 10^-4) â
b) Ponto‐fixo: não converge.
c) Newton: não converge.
d) Secante: não converge.

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