Resolva cada um dos problemas-enigma a seguir:
Alcuin de York, 775. 100 sacas de grãos são distribuídas entre 100 pessoas de modo que cada homem recebe 3 sacas, cada mulher 2 sacas, e cada criança 1/2 saca. Quantos homens, mulheres e crianças há?
Alcuin de York, 775. 100 sacas de grãos são distribuídas entre 100 pessoas de modo que cada homem recebe 3 sacas, cada mulher 2 sacas, e cada criança 1/2 saca. Quantos homens, mulheres e crianças há?
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um probleminha de distribuição de sacas entre pessoas, que cai em sistemas de equações e equações diofantinas (só inteiros).
Enunciado em miúdos: são 100 sacas de trigo para 100 pessoas, cada homem leva 3 sacas, cada mulher 2 sacas, cada criança ½ saca. Quantos homens (x), mulheres (y) e crianças (z) existem?
O que vamos precisar:
Enunciado em miúdos: são 100 sacas de trigo para 100 pessoas, cada homem leva 3 sacas, cada mulher 2 sacas, cada criança ½ saca. Quantos homens (x), mulheres (y) e crianças (z) existem?
O que vamos precisar:
- Montar as equações que representam “número de pessoas” e “total de sacas”.
- Manipular o sistema, deixar tudo em inteiros e resolver a equação diofantina resultante.
Passo 2
Primeiro escrevemos as equações:
- “100 pessoas no total”
- “100 sacas no total”
Aqui
devem ser inteiros não-negativos.
Passo 3
Como temos um
, vamos evitar fração multiplicando a segunda equação por 2:
Agora temos o sistema inteiro:
Passo 4
Subtraímos a primeira equação da segunda pra eliminar
:
Isso é uma equação diofantina linear, onde
têm que ser inteiros ≥ 0.
Passo 5
Para resolver
, a gente anota que
tem de ser tal que
.
Como e
é invertível mod 5, isso dá
.
Ou seja, escrevemos , com
inteiro.
Substituindo em :
Como
Ou seja, escrevemos
Substituindo em
E de
vem
Passo 6
Agora impomos
:
E
dá
.
Então pode ser os inteiros
.
Então
Resposta
Existem 7 soluções possíveis, dadas por
Ou seja, os triádicos
são:
k=0: (20, 0, 80)
k=1: (17, 5, 78)
k=2: (14, 10, 76)
k=3: (11, 15, 74)
k=4: (8, 20, 72)
k=5: (5, 25, 70)
k=6: (2, 30, 68)
k=0: (20, 0, 80)
k=1: (17, 5, 78)
k=2: (14, 10, 76)
k=3: (11, 15, 74)
k=4: (8, 20, 72)
k=5: (5, 25, 70)
k=6: (2, 30, 68)