Resolva cada um dos problemas-enigma a seguir:
Alcuin de York, 775. 100 sacas de grãos são distribuídas entre 100 pessoas de modo que cada homem recebe 3 sacas, cada mulher 2 sacas, e cada criança 1/2 saca. Quantos homens, mulheres e crianças há?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um probleminha de distribuição de sacas entre pessoas, que cai em sistemas de equações e equações diofantinas (só inteiros).
Enunciado em miúdos: são 100 sacas de trigo para 100 pessoas, cada homem leva 3 sacas, cada mulher 2 sacas, cada criança ½ saca. Quantos homens (x), mulheres (y) e crianças (z) existem?
O que vamos precisar:
  • Montar as equações que representam “número de pessoas” e “total de sacas”.
  • Manipular o sistema, deixar tudo em inteiros e resolver a equação diofantina resultante.

Passo 2

Primeiro escrevemos as equações:
  1. “100 pessoas no total”
x + y + z = 100
  1. “100 sacas no total”
3x + 2y + tfrac12,z = 100
Aqui devem ser inteiros não-negativos.

Passo 3

Como temos um 6x + 4y + z = 200 , vamos evitar fração multiplicando a segunda equação por 2:
x + y + z = 100, 6x + 4y + z = 200
Agora temos o sistema inteiro:

Passo 4

Subtraímos a primeira equação da segunda pra eliminar (6x + 4y + z) - (x + y + z) = 200 - 100 Longrightarrow 5x + 3y = 100 :
Isso é uma equação diofantina linear, onde têm que ser inteiros ≥ 0.

Passo 5

Para resolver 5x + 3(5k) = 100 Longrightarrow 5x + 15k = 100 Longrightarrow x = 20 - 3k , a gente anota que z = 100 - x - y = 100 - (20-3k) - 5k = 80 - 2k tem de ser tal que .
Como e é invertível mod 5, isso dá .
Ou seja, escrevemos , com inteiro.
Substituindo em :
E de vem

Passo 6

Agora impomos x = 20 - 3k >= 0 Longrightarrow k <= tfrac203approx6,66 :
z = 80 - 2k >= 0 Longrightarrow k <= 40
E .
Então pode ser os inteiros .

Resposta

Existem 7 soluções possíveis, dadas por
(x,y,z) = l(20 - 3k,;5k,;80 - 2kr), k = 0,1,2,3,4,5,6
Ou seja, os triádicos ç são:
k=0: (20, 0, 80)
k=1: (17, 5, 78)
k=2: (14, 10, 76)
k=3: (11, 15, 74)
k=4: (8, 20, 72)
k=5: (5, 25, 70)
k=6: (2, 30, 68)

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