Seja a função f(x)=x^2+ln (x), mostre que f possui uma única raiz em (0,5 ; 1).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Seja a função . Mostre que tem uma única raiz em .”
Conteúdo: continuação de funções, Teorema do Valor Intermediário (TVI) e monotonicidade (derivada).
O que vamos usar:
  • Mostrar que em temos sinal negativo e em sinal positivo (TVI garante pelo menos uma raiz).
  • Calcular para provar que é estritamente crescente, garantindo só UMA raiz.

Passo 2

Primeiro, a gente verifica os sinais em f(0,5) = (0,5)^2 + ln(0,5) = 0,25 + lnl(tfrac12r) = 0,25 - ln(2) approx 0,25 - 0,6931 = -0,4431 < 0 e em f(1) = 1^2 + ln(1) = 1 + 0 = 1 > 0 .
  • Para :
  • Para :
Então em é negativa e em é positiva.

Passo 3

Como é soma de (polinomial) com (contínua em ), é contínua em .
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se numa função contínua e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em .
Aqui, e , logo existe pelo menos um tal que .

Passo 4

Agora, para garantir que essa raiz é única, mostramos que f'(x) = ddxl(x^2 + ln xr) = 2x + 1x é estritamente crescente em f'(x) = 2x + 1x > 0 .
Calcule a derivada:
Em , tanto quanto , então
Derivada positiva significa que é estritamente crescente, então não pode cruzar o zero mais de uma vez nesse intervalo.

Resposta

A função tem exatamente uma raiz em .

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