Seja a função
, mostre que
possui uma única raiz em
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Seja a função
. Mostre que
tem uma única raiz em
.”
Conteúdo: continuação de funções, Teorema do Valor Intermediário (TVI) e monotonicidade (derivada).
O que vamos usar:
Conteúdo: continuação de funções, Teorema do Valor Intermediário (TVI) e monotonicidade (derivada).
O que vamos usar:
- Mostrar que em
temos sinal negativo e em sinal positivo (TVI garante pelo menos uma raiz). - Calcular
para provar que é estritamente crescente, garantindo só UMA raiz.
Passo 2
Primeiro, a gente verifica os sinais em
e em
.
- Para
: - Para
:
Então em
é negativa e em
é positiva.
Passo 3
Como
é soma de
(polinomial) com
(contínua em
),
é contínua em
.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se numa função contínua e
têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em
.
Aqui, e
, logo existe pelo menos um
tal que
.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se numa função contínua
Aqui,
Passo 4
Agora, para garantir que essa raiz é única, mostramos que
é estritamente crescente em
.
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
Em
, tanto
quanto
, então
Derivada positiva significa que
é estritamente crescente, então não pode cruzar o zero mais de uma vez nesse intervalo.
Resposta
A função
tem exatamente uma raiz em
.