Verifique que a expressão dada é uma solução implícita da equação diferencial ordinária abaixo e encontre pelo menos uma solução explícita utilizando essa expressão.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos a EDO
e uma “solução implícita” dada por
O que a gente vai fazer:
- Verificar que, se eu der derivada implícita nessa relação, eu chego de volta em
. - Isolar
para ter a forma explícita .
Pra isso usamos derivada implícita (regra da cadeia) e álgebra básica.
Passo 2
Vamos checar a EDO por derivada implícita.
- Pegamos
- Derivamos os dois lados em relação a
. No LHS usamos a regra da cadeia:
- Calculando
:
- Então
Como o RHS é
, temos
Note que
, que é exatamente a EDO original. Ou seja, conferido!
Passo 3
Agora a parte da solução explícita. A gente parte de
Multiplica ambos os lados por
:
Agrupa os termos em
:
Logo, isolando
:
Se você preferir, pode multiplicar numerador e denominador por
e escrever
Resposta
A solução explícita obtida a partir da implícita é