Verifique que a expressão dada é uma solução implícita da equação diferencial ordinária abaixo e encontre pelo menos uma solução explícita utilizando essa expressão.
y^prime=(y-1)(1-2 y) ; ln (2 y-1y-1)=x

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos a EDO
y' = (y - 1)(1 - 2y)
e uma “solução implícita” dada por
ln!l(tfrac2y-1y-1r) = x
O que a gente vai fazer:
  1. Verificar que, se eu der derivada implícita nessa relação, eu chego de volta em .
  2. Isolar para ter a forma explícita .
    Pra isso usamos derivada implícita (regra da cadeia) e álgebra básica.

Passo 2

Vamos checar a EDO por derivada implícita.
  1. Pegamos
ln!l(tfrac2y-1y-1r)=x
  1. Derivamos os dois lados em relação a ddxln(u)=u'u, u=2y-1y-1 . No LHS usamos a regra da cadeia:
u'=ddxl(tfrac2y-1y-1r) =(2y-1)'(y-1)-(2y-1)(y-1)'(y-1)^2 =2y' (y-1)-y'(2y-1)(y-1)^2 =y'l(2(y-1)-(2y-1)r)(y-1)^2 =-y'(y-1)^2
  1. Calculando ddxln!l(tfrac2y-1y-1r) =u'u =-y'(y-1)^2;/;2y-1y-1 =-y'(y-1)(2y-1) :
-y'(y-1)(2y-1)=1 Longrightarrow y'=-(y-1)(2y-1)
  1. Então
Como o RHS é , temos
Note que , que é exatamente a EDO original. Ou seja, conferido!

Passo 3

Agora a parte da solução explícita. A gente parte de
ln!l(tfrac2y-1y-1r)=x Longrightarrow 2y-1y-1=e^x
Multiplica ambos os lados por 2y-1 = e^x,(y-1) = e^x y - e^x :
2y - e^x y = -e^x + 1 Longrightarrow y,(2 - e^x) = 1 - e^x
Agrupa os termos em y = 1 - e^x2 - e^x :
y = e^x - 1e^x - 2
Logo, isolando :
Se você preferir, pode multiplicar numerador e denominador por e escrever

Resposta

A solução explícita obtida a partir da implícita é
boxedy(x)=1 - e^x2 - e^x(ou, equiva<=ntemente, y=tfrace^x-1e^x-2)

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