Determine uma região do plano
na qual a equação diferencial dada tenha uma única curva integral que passa por um ponto
garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade dessa região.
Passo 1
Beleza, então o enunciado tá pedindo pra gente achar uma região no plano
onde a EDO
tenha existência e unicidade de solução passando por um ponto
, segundo o Teorema de Existência e Unicidade.
Conteúdo: teoria de EDOs em forma normal e o Teorema de Picard–Lindelöf (continuidade de e
). Vamos usar isso pra identificar onde tudo é direitinho (isto é, onde não tem divisão por zero nem descontinuidade).
Conteúdo: teoria de EDOs em forma normal e o Teorema de Picard–Lindelöf (continuidade de
Passo 2
Primeiro, põe a EDO em forma normal
Agora ficou claro: o único possível problema é quando
, porque aí rola divisão por zero.
Passo 3
A teoria diz que se
e sua derivada parcial
são contínuas numa vizinhança de
, a solução existe e é única.
Vamos calcular :
Vamos calcular
Passo 4
Fica claro que tanto
são contínuos sempre que
. A única “zona problemática” é a reta
.
Passo 5
Portanto, para garantir existência e unicidade, basta escolher uma região aberta que não corte a linha
. Por exemplo:
- Região acima da reta:
. - Região abaixo da reta:
.
Se o ponto
estiver com
, a gente pega uma vizinhança em
. Se estiver em
, a gente pega a vizinhança em
.
Resposta
Uma região onde existe e é única a solução pelo Teorema de Existência e Unicidade é qualquer domínio aberto que não contenha a reta
, por exemplo