Determine uma região do plano x y na qual a equação diferencial dada tenha uma única curva integral que passa por um ponto (x0, y0) garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade dessa região.
(y-x) y^prime=y+x

Passo 1

Beleza, então o enunciado tá pedindo pra gente achar uma região no plano (y - x),y' = y + x onde a EDO
tenha existência e unicidade de solução passando por um ponto , segundo o Teorema de Existência e Unicidade.
Conteúdo: teoria de EDOs em forma normal e o Teorema de Picard–Lindelöf (continuidade de e ). Vamos usar isso pra identificar onde tudo é direitinho (isto é, onde não tem divisão por zero nem descontinuidade).

Passo 2

Primeiro, põe a EDO em forma normal
y' = f(x,y) = y + x,y - x,
Agora ficou claro: o único possível problema é quando , porque aí rola divisão por zero.

Passo 3

A teoria diz que se f(x,y) = y + xy - x ;;Longrightarrow;; partial fpartial y = (1)(y - x) - (y+x)(1)(y - x)^2 = y - x - y - x(y - x)^2 = -2x(y - x)^2 e sua derivada parcial são contínuas numa vizinhança de , a solução existe e é única.
Vamos calcular :

Passo 4

Fica claro que tanto
f(x,y)=y + xy - x quanto partial fpartial y=-2x(y - x)^2
são contínuos sempre que . A única “zona problemática” é a reta .

Passo 5

Portanto, para garantir existência e unicidade, basta escolher uma região aberta que não corte a linha . Por exemplo:
  • Região acima da reta: .
  • Região abaixo da reta: .
Se o ponto estiver com , a gente pega uma vizinhança em . Se estiver em , a gente pega a vizinhança em .

Resposta

Uma região onde existe e é única a solução pelo Teorema de Existência e Unicidade é qualquer domínio aberto que não contenha a reta (x,y)in R^2 : y - x > 0 ou (x,y)in R^2 : y - x < 0 , por exemplo

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