Resolva as equações exponenciais
8^x^2-x=4^x+1

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a equação exponencial
8^,x^2-x ;=;4^,x+1
Isso cai na matéria de funções e equações exponenciais. Para resolver, vamos usar:
  • Propriedade de potências: .
  • Se e , então implica .
  • Resolver a equação quadrática que aparecerá no meio do caminho.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever 8 e 4 como potências de uma mesma base.
8 é 8^,x^2-x ;=;(2^3)^,x^2-x e 4^,x+1 ;=;(2^2)^,x+1 e 4 é 2^,3(x^2-x) ;=;2^,2(x+1) . Então
Aplicando , a equação vira

Passo 3

Agora que os dois lados têm a mesma base (2), podemos igualar os expoentes:
3(x^2-x) ;=;2(x+1)
Vamos simplificar isso:
3x^2-3x ;=;2x+2
Passando tudo pra um lado e deixando zero do outro:
3x^2-3x-2x-2 ;=;0 Longrightarrow 3x^2-5x-2 ;=;0

Passo 4

Temos uma equação quadrática x = -b pm raizb^2-4ac2a, . Para resolver, uso a fórmula de Bhaskara:
De
onde x = -(-5) pm raiz492cdot3 = 5 pm 76 , x1 = 5+76 = 126 = 2, x2 = 5-76 = -26 = -tfrac13 , .
Calculemos o discriminante:
Logo
Isso dá duas soluções:

Resposta

As soluções da equação são
boxedx = 2 ou x = -tfrac13

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