Resolva as equações:
4^x-5 cdot 2^x+6=0

Passo 1

Beleza, vamos traduzir o que o exercício pede. A questão é “Resolva a equação
4^x - 5 cdot 2^x + 6 = 0
Isso cai em conteúdo de equações exponenciais e a ideia principal é usar uma substituição para transformar em uma equação do segundo grau. Para isso você precisa lembrar:
- Como reescrever potências (por exemplo, 4^x = (2^2)^x = 2^2x).
- Noções de substituição e resolução de equação quadrática.
- Como voltar da substituição usando logaritmos ou propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar 4^x usando potência de potência:
4^x = (2^2)^x = 2^2x
Daí percebemos que se definirmos
y = 2^x,
então 2^2x = (2^x)^2 = y^2. Substituindo na equação original:
$$4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 6 = 0
;\Longrightarrow; y^2 - 5y + 6 = 0.$$

Passo 3

Agora temos uma equação quadrática em y:
y^2 - 5y + 6 = 0
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara ou fatoramos, já que os coeficientes são amigáveis. Vamos fatorar: estamos procurando dois números cujo produto seja 6 e soma seja 5. São 2 e 3. Logo:
(y - 2)(y - 3) = 0
Isto dá as raízes
y = 2 ou y = 3

Passo 4

Lembrando que y = 2^x, voltamos à variável x:
  1. Se y = 2, então 2^x = 2 ;Longrightarrow; x = 1,
    porque 2^1 = 2.
    2) Se y = 3, então
    2^x = 3 ;Longrightarrow; x = log2(3),usando definição de logaritmo (o x que faz 2^x = 3).

Resposta

As soluções da equação são
x = 1 e x = log2(3)

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