Resolva as equações:
4^x+1-2^x+4+15=0

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente resolver a equação exponencial
4^x+1 ;-; 2^x+4 ;+; 15 ;=; 0
Conteúdo: equações exponenciais e mudança de base.
O que vamos usar:
  • Propriedade de potência .
  • Fato de que , então dá pra transformar tudo em potências de base 2.
  • Substituição para virar uma equação quadrática.
  • Definição de logaritmo para “desfazer” .

Passo 2

Primeiro, escreve tudo com base 2:
4^x+1=(2^2)^x+1=2^2(x+1)=2^2x+2
E
2^x+4=2^xcdot2^4=16cdot2^x
Substituindo na equação, fica
2^2x+2 ;-; 16cdot2^x ;+; 15 ;=; 0

Passo 3

Agora faz aquela mágica – substituição. Define
t = 2^x, t>0
Como 2^2x+2=2^2cdot2^2x=4,t^2,, a gente tem:
4,t^2 ;-;16,t ;+;15 ;=;0
e já vimos que .
Então a equação vira

Passo 4

É uma quadrática normal em De. Calcula o discriminante:
t = 16 pm 42cdot4 = 16pm48 ;;Longrightarrow;; t1 = 208 = 52, t2 = 128 = 32
.
Assim

Passo 5

Volta à variável x = log2!l(tfrac52r) ou x = log2!l(tfrac32r) :
  1. log2!l(tfrac52r) = log2(5) - 1, log2!l(tfrac32r) = log2(3) - 1
Para achar , usa log base 2:
Se quiser escrever de outro jeito:

Resposta

As soluções são
boxedx = log2!l(tfrac52r) e x = log2!l(tfrac32r)

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