Se a e b são raízes da equação x^2-92 x+k=0 e a^b cdot a^a cdot b^a cdot b^b=16^23, calcule o valor numérico de k.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que x^2 - 92x + k = 0 e a^bcdot a^acdot b^acdot b^b ;=; 16^23 são raízes da equação
e ainda que
O conteúdo aqui é de equações do 2° grau (fórmulas de Viète) e propriedades de potências.
Precisamos usar:
  1. Soma e produto das raízes pela fórmula de Viète:
    e .
  2. Regras de expoente:
    e transformações de potências.

Passo 2

Vamos simplificar o produto de potências:
a^bcdot a^a = a^,a+b e b^acdot b^b = b^,a+b
Então
a^b,a^a,b^a,b^b = a^,a+b;b^,a+b = (a,b)^,a+b
Pela Viète temos a^b,a^a,b^a,b^b = (a,b)^,a+b = k^92 e . Logo

Passo 3

A condição do enunciado é
k^92 = 16^23
Como 16^23 = (2^4)^23 = 2^4cdot23 = 2^92 , temos
k^92 = 2^92 ;Longrightarrow; k = 2
Portanto
(assumindo para manter as potências reais).

Resposta

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