Resolva as inequações exponenciais:
3^{x+1}+3^{2+x}>108

Passo 1

O enunciado dá a inequação
3^{x+1}+3^{x+2}>108
e pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes que temos: a base da exponencial é 3 (maior que 1), e x é uma variável real. A solução deve ser um conjunto de números reais.

Passo 2

Primeiro usemos a propriedade de potências que diz que a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}. Aplicando isso aos termos da soma:
3^{x+1}=3^{x}\cdot 3^{1},\qquad 3^{x+2}=3^{x}\cdot 3^{2}.
Aqui \,3^{x} é um fator comum em ambos os termos.

Passo 3

Fatorando 3^{x} da soma obtemos
3^{x+1}+3^{x+2}=3^{x}\cdot 3^{1}+3^{x}\cdot 3^{2}=3^{x}\bigl(3+9\bigr).
Expliquei: usei que 3^{1}=3 e 3^{2}=9.

Passo 4

Calcule 3+9=12. Então a inequação original vira
12\cdot 3^{x}>108.
Isso já é bem mais simples — reduzimos a uma desigualdade com uma só exponencial.

Passo 5

Dividimos ambos os lados por 12. Como 12>0, a desigualdade mantém o sentido:
3^{x}>\frac{108}{12}.
Faço a divisão 108:12=9, então
3^{x}>9.

Passo 6

Observe que 9=3^{2}. Agora usamos uma propriedade importante das funções exponenciais: quando a base a>1, a função a^{t} é estritamente crescente, ou seja, a^{u}>a^{v} se e somente se u>v. Aqui a base é 3>1, portanto de
3^{x}>3^{2}
segue que
x>2.
(Alternativa: tirar logaritmo base 3: x>\log_{3}9=2.)

Passo 7

Verificação rápida do limite: para x=2 temos 3^{3}+3^{4}=27+81=108, que não satisfaz a desigualdade estrita >. Portanto x=2 não pertence à solução. Para qualquer x>2 a soma será maior que 108.

Resposta

(2,\infty)

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