Resolva as inequações racionais abaixo, determinando o conjunto solução. Utilize a análise de sinais com base nas raízes do numerador e do denominador.
x^3+2 x^2-5 x-6-x-3 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^3+2x^2-5x-6-x-3<= 0
usando análise de sinais. O conteúdo é inequação racional; vamos fatorar numerador e denominador, obter as raízes que definem os pontos críticos e montar o estudo de sinais.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador x^3+2x^2-5x-6. Pelos possíveis raízes racionais pm1,pm2,pm3,pm6, testamos x=2:
2^3+2cdot2^2-5cdot2-6=8+8-10-6=0,
logo x-2 é fator. Dividindo por x-2 obtemos o quociente x^2+4x+3, que se fatora em (x+1)(x+3). Assim
x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x+1)(x+3)
O denominador é
-x-3=-(x+3)

Passo 3

Os zeros do numerador são x=2, x=-1 e x=-3; o denominador anula-se em x=-3, que deve ser excluído do domínio. Os pontos críticos são, portanto,
x=-3, x=-1, x=2,
com xneq -3.

Passo 4

A expressão original pode ser simplificada cancelando o fator x+3 (fora de x=-3):
(x-2)(x+1)(x+3)-(x+3) =-(x-2)(x+1), xneq -3
A inequação fica
-(x-2)(x+1)<=0
Multiplicando por -1 e invertendo o sinal da desigualdade,
(x-2)(x+1)>=0
Esse produto é não negativo quando x<=-1 ou x>=2.

Passo 5

Devemos excluir x=-3 (não está no domínio) mas incluir as raízes x=-1 e x=2 (pois tornam o numerador zero e o denominador não nulo). Assim o conjunto solução é
(-infty,-3),cup,(-3,-1],cup,[2,infty)

Resposta

(-infty,-3),cup,(-3,-1],cup,[2,infty)

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